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主 应 力 法 参考书： 金属塑性成形原理，俞汉青，机械工业出版社，2012 金属塑性成形理论的主要任务之一就是确定各种成形工序所需的变形力；变形力是指在塑性加工过程中，工具对坯料所施加的使之发生塑性变形的作用力。变形力是正确设计模具、选择设备和制定工艺规程的重要参数。 求解变形体（毛坯）内部的应力大小及分布。需联解平衡微分方程、塑性条件、几何方程和本构方程。 主应力法是在简化平衡微分方程和塑性条件基础上建立起来的计算方法。主应力法（工程法），能近似解平面应力、应变和轴对称。 约束条件（16个基本方程） 三个应力平衡微分方程 六个应变连续几何方程 六个本构方程（应力应变关系） 一个屈服准则 16个未知数： 6个应力分量 6个应变分量 3个位移分量 比例系数dλ 1 塑性成形问题的数学解析法 （1）塑性成形求解问题 应力平衡微分方程： 应变几何方程: 本构方程 屈服准则 或者 对于刚塑性材料还需满足体积不变条件 分析对象 方程个数 未知数个数 问题属性 联立方程 可解否 一般空间问题 微分方程，3个 塑性条件，1个 6 静不定 本构方程，6个 几何方程，6个 方程，16个 未知数，16个 理论上可解，实际不可解。 轴对称问题 微分方程，2个 塑性条件，1个 4 静不定 本构方程，4个 几何方程，2个 方程，9个 未知数，9个 理论上可解，特殊情况可解。 平面问题 微分方程，2个 塑性条件，1个 3 静定 ? 部分情况可解. 注：若未知量的个数多于独立平衡方程的个数，则为静不定问题；若未知量的个数等于或少于独立平衡方程的个数未知量全部可由独立平衡方程求得，则为静定问题。 2??主应力法的基本原理 以均匀塑性变形假设为前提，将偏微分应力平衡方程简化为常微分方程，将密塞斯屈服准则二次方程简化为线性方程，最后归结为求解一阶常微分应力平衡方程问题。 可以求解变形力和变形功，但是无法求出变形体内的应力分布。 求解原理 ——工作应力，一般它在工作面上是不均匀的，常用单位压力 表示 S——工作面积，按“工作面投影代替力的投影”法则求解 求解要点 工程法是一种近似解析法，通过对物体应力状态作一些简化假设，建立以主应力表示的简化平衡微分方程和塑性条件。 这些简化和假设如下： 1．把实际变形过程视具体情况的不同看作是平面应变问题和轴对称问题。如平板压缩、宽板轧制、圆柱体镦粗、棒材挤压和拉拔等。 2．假设变形体内的应力分布是均匀的，仅是一个坐标的函数。这样就可获得近似的应力平衡微分方程，或直接在变形区内截取单元体切面上的正应力假定为主应力且均匀分布，由此建立该单元体的应力平衡微分方程为常微分方程。 采用近似的塑性条件。工程法把接触面上的正应力假定为主应力，忽略切应力和摩擦切应力，将二次方程简化为线性方程。 对于平面应变问题，塑性条件 简化为： 或 对于轴对称问题，塑性条件 可简化为 简化接触面上的摩擦。采用以下二种近似关系 库仑摩擦定律： （滑动摩擦） 常摩擦定律： （粘着摩擦） 式中： ——摩擦应力 k——屈服切应力（ ） ——正应力 ——摩擦系数 其它。如不考虑工模具弹性变形的影响，材料变形为 均质和各向同性等。 （1）长矩形板镦粗问题的求解（滑动摩擦，直角坐标系） 设矩形板的长度,高度,宽度分别为:l, h, b; 且l远大于h, b,近似地认为矩形板沿长度方向的变形为零（最小阻力流动原理）。 1）切取单元体 设Z轴方向的变形为零 ,切取宽度为dx、长度为l的单元体 长矩形板镦粗问题及作用在单元体上的应力分量 3? 镦粗的主应力法分析 2） 列出单元体的静力平衡方程，单元体沿x方向的静力平衡方程为: 2） 列出单元体的静力平衡方程，单元体沿x方向的静力平衡方程为: 整理得: 应力平衡方程化为了常微分方程 3） 代入摩擦条件 假设接触表面上的摩擦切应力服从库仑摩擦定律, 式中，p为工具作用在长矩形板上的单位压力，?为摩擦系数 得: 4）引用屈服准则 设工具作用在变形体上的单位压力p为正值,则y方向上的压缩应力 根据平面应变状态的密塞斯屈服准则得: 对上式微分得: 整理得: 5） 积分并确定积分常数 对上式积分得: 根据应力边界条件定积分常数,当x=b/