【名师一号】2015版高考数学一轮总复习 2-12 导数的应用（一）练习 新人教A版.doc

第十二节　导数的应用(一) 时间：45分钟　分值：75分 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．函数f(x)＝x＋elnx的单调递增区间为(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(－∞，0)和(0，＋∞) D．R 解析　函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋0，故单调增区间是(0，＋∞)． 答案　A 2．设函数f(x)＝＋lnx，则(　　) A．x＝为f(x)的极大值点 B．x＝为f(x)的极小值点 C．x＝2为f(x)的极大值点 D．x＝2为f(x)的极小值点 解析　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－＋＝， 当x＝2时，f′(x)＝0；当x2时，f′(x)0，函数f(x)为增函数； 当0x2时，f′(x)0，函数f(x)为减函数， 所以x＝2为函数f(x)的极小值点． 答案　D 3．(2013·浙江卷)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如右图所示，则该函数的图象是(　　) 解析　由导函数的图象可知，原函数单调递增，且切线的斜率由小到大再变小，故只有选项B满足． 答案　B 4．(2013·大纲全国卷)若函数f(x)＝x2＋ax＋在(，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是(　　) A．[－1,0] B．[－1，＋∞) C．[0,3] D．[3，＋∞) 解析　由f(x)＝x2＋ax＋在(，＋∞)上为增函数，得f′(x)＝2x＋a－≥0在(，＋∞)上恒成立，即a≥－2x在(，＋∞)上恒成立，令g(x)＝－2x(x)，g′(x)＝－－20，故g(x)在(，＋∞)上为减函数，所以a≥g()＝3.故选D. 答案　D 5．(2013·浙江卷)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则(　　) A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值 B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值 C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值 D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值 解析　当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，f′(1)＝xex－1，x＝1不是f′(x)＝0的根，所以不是极值点，排除A、B；当k＝2时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)，当x＝1时f′(x)＝0且x1时f′(x)0，结合选项，故选C. 答案　C 6．(2013·湖北卷)已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，0) B. C．(0,1) D．(0，＋∞) 解析　f′(x)＝lnx－ax＋x＝lnx－2ax＋1，假设函数f(x)只有1个极值点，则方程lnx－2ax＋1＝0(x0)只有一根，数形结合，即直线y＝2ax－1与曲线y＝lnx相切．设切点为(x0，lnx0)，则切线方程为y－lnx0＝(x－x0)，即y＝x＋lnx0－1.又切线方程为y＝2ax－1，对比得解得a＝，x0＝1.故若要使直线y＝2ax－1与曲线y＝lnx相交，即函数f(x)＝x(lnx－ax)有2个极值点，需满足0a. 答案　B 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m[－1,1]，则f(m)的最小值为________． 解析　求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，故a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x.由此可得f(x)在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增，所以对m[－1，1]时，f(m)min＝f(0)＝－4. 答案　－4 8．已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是________． 解析　f′(x)＝3x2＋2mx＋m＋6＝0有两个不等实根，即Δ＝4m2－12×(m＋6)0.所以m6或m－3. 答案　(－∞，－3)(6，＋∞) 9．已知函数f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函数，函数g(x)＝－x3＋2x2＋mx＋5在(－∞，＋∞)内单调递减，则实数m＝________. 解析　若f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函数， 则m2－4＝0，m＝±2. 若g′(x)＝－3x2＋4x＋m≤0恒成立， 则Δ＝16＋4×3m≤0，解得m≤－，故m＝－2. 答案　－2 三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．已知函数f(x)＝ax2＋blnx在x＝1处有极值. (1)求a，b的值； (2)求函数y＝f(x)的单调区间． 解　(1)f′(x)＝2ax＋.又f(x)在x＝1处有极