【名师一号】2015版高考数学一轮总复习 4-3 平面向量数量积与平面向量应用举例练习 新人教A版.doc

第三节　平面向量数量积与平面向量应用举例 时间：45分钟　分值：75分 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是(　　) A．ab B．ab C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b 解析　由|a＋b|＝|a－b|得(a＋b)2＝(a－b)2， a·b＝0，故ab. 答案　B 2．(2013·湖北卷)已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3，4)，则向量在方向上的投影为(　　) A. B. C．－ D．－ 解析　＝(2,1)，＝(5,5)，在方向上的投影为＝＝. 答案　A 3．(2013·全国大纲卷)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)(m－n)，则λ＝(　　) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 解析　(m＋n)(m－n)得(m＋n)·(m－n)＝0即m2－n2＝0，(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0，解得λ＝－3.故选B. 答案　B 4．(2013·福建卷)在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4，2)，则该四边形的面积为(　　) A. B．2 C．5 D．10 解析　因为·＝1×(－4)＋2×2＝0，所以，所以四边形ABCD的面积是||·||＝××＝5. 答案　C 5．如图所示，在ABC中，AB＝BC＝4，ABC＝30°，AD是边BC上的高，则·的值等于(　　) A．0 B．4 C．8 D．－4 解析　BD＝ABcos30°＝2，所以＝. 故＝－＝－. 又＝－，所以·＝·(－)＝2－·＋2，2＝2＝16，·＝4×4×cos30°＝8，代入上式得·＝8－×8＋16＝4. 答案　B 6．已知三个向量a，b，c两两所夹的角都为120°，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则向量a＋b与向量c的夹角θ的值为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析　(a＋b)·c＝a·c＋b·c＝1×3×cos120°＋2×3×cos120°＝－， |a＋b|＝＝ ＝＝， cosθ＝＝＝－. ∵0°≤θ≤180°，θ＝150°. 答案　D 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．(2013·新课标全国卷)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________. 解析　a，b均为单位向量，夹角为60°，所以a·b＝，又b·c＝0，即：b·[ta＋(1－t)b]＝0得＋(1－t)＝0，解得t＝2. 答案　2 8．(2013·天津卷)在平行四边形ABCD中，AD＝1，BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________． 解析　·＝(＋)·(－)＝2＋·－2＝2＋||·||cos60°－2＝1，把||2＝1代入得||＝. 答案　 9. (2014·大庆高三质检)向量，在正方形网格中的位置如图所示．设向量a＝－λ，若a，则实数λ＝________. 解析　以A为原点，AB为x轴建立直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(3，2)，a＝－λ＝(3,2)－λ(2,0)＝(3－2λ，2)，＝(2,0)，a⊥，a·＝2(3－2λ)＋0＝0，λ＝. 答案　 三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为60°，求向量a＋2b与a－b的夹角的余弦值． 解　a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1， |a＋2b|2＝a2＋4b2＋4a·b＝12， |a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝3， (a＋2b)·(a－b)＝a2－2b2＋a·b＝3. 向量a＋2b与a－b的夹角的余弦值 cosθ＝＝＝. 11．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)． (1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值． 解　(1)＝(3,5)，＝(－1,1)， 求两条对角线的长，即求|＋|与|－|的大小． 由＋＝(2,6)，得|＋|＝2. 由－＝(4,4)，得|－|＝4. (2)＝(－2，－1)， (－t)·＝·－t2， 易求·＝－11，2＝5， 由(－t)·＝0，得t＝－. 12．(2013·四川卷)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB－sin(A－B)sinB＋cos(A＋C)＝－. ()求cosA的值； ()若a＝4，b＝5，求向量在方向上的投影． 解　()由2cos2cosB－sin(A－B)sinB＋cos(A＋C)＝－， 得[cos(A－B)＋1]cosB－sin(A－B)sinB－cosB＝－， 即cos(A－B)cos