两类曲线积分与格林公式-习题课.ppt

解： 练习题 2. 计算 其中L为双纽线 解: 在极坐标系下 它在第一象限部分为 利用对称性 , 得 思路: 闭合 非闭 闭合 非闭 补充曲线或用公式 解 解 (如下图) 方法1 直接计算. 方法2 分项组合凑微分. 方法3 用格林公式。 选择题： * 第十章习题课 两类曲线积分习题课 曲线积分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 格林公式 曲线积分与路径无关 1.定义：第一类曲线积分（又称对弧长的曲线积分） 2.存在条件： 3.推广 一、基本内容 第一类曲线积分的计算 推广 特殊情形 几何与物理意义 存在条件： 第二类曲线积分（又称对坐标的曲线积分） 推广 性质 对坐标的曲线积分与 曲线的方向有关. 第二类曲线积分的计算 定理 特殊情形 格林公式 2.它是Newton-Leibniz公式在二重积分情形下的推广. 1.Green公式的实质：沟通了沿闭曲线的第二类曲线 积分与该闭曲线所围的闭区域上的二重积分的之间 的联系。 定理 设D 是单连通域 , 在D 内 具有一阶连续偏导数, (1)沿D 中任意光滑闭曲线L,有 (2)对D 中任一分段光滑曲线 L,曲线积分 (3) (4)在D 内每一点都有 与路径无关, 只与起止点有关. 函数 则以下四个条件等价: 在 D 内是某一函数 的全微分, 即 曲 线 积 分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 定义 联系 计 算 三代一定 二代一定 (与方向有关) 与路径无关的四个等价命题 条件 等 价 命 题 在第一象限中所围图形的边界. ⌒ 提示 解 ⌒ ⌒ 例1 二、例题 故 例2 其中L是圆周 解 因积分曲线L关于 被积函数x是L上 被积函数 因积分曲线L关于 对称性, 计算 得 是L上 y轴对称, 关于x的奇函数 x轴对称, 关于y的奇函数 例3 计算 其中?为球面 解 化为参数方程 例4 计算 其中L为 解 圆周: ，方向沿逆时针. 另法： 应用格林公式 解 例6 问 是否为全微分式? 求其一个原函数. 如是, 解 在全平面成立 所以上式是全微分式. 因而一个原函数是： 全平面为单连通域， 法一 (x,y) 这个原函数也可用下法“分组”凑出: 法二 因为函数u满足 故 从而 所以, 问 是否为全微分式? 求其一个原函数. 如是, 由此得 y的待定函数 法三 第十章习题课 *