两角和与差公式导学案.docx

学案21　两角和与差的正弦、余弦和正切公式导学目标：1.会用向量数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式.4.熟悉公式的正用、逆用、变形应用．自主梳理1．(1)两角和与差的余弦cos(α＋β)＝_____________________________________________，cos(α－β)＝_____________________________________________.(2)两角和与差的正弦sin(α＋β)＝_____________________________________________，sin(α－β)＝_____________________________________________.(3)两角和与差的正切tan(α＋β)＝_____________________________________________，tan(α－β)＝_____________________________________________.(α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋，k∈Z)其变形为：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．2．辅助角公式asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中角φ称为辅助角．自我检测1．(2010·福建)计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于(　　)A.B.C.D.2．已知cos＋sin α＝，则sin的值是(　　)A．－B.C．－D.3．函数f(x)＝sin 2x－cos 2x的最小正周期是(　　)A.B．πC．2πD．4π4．(2011·台州月考)设0≤α2π，若sinαcosα，则α的取值范围是(　　)A.B.C.D.5．(2011·广州模拟)已知向量a＝(sinx，cosx)，向量b＝(1，)，则|a＋b|的最大值为(　　)A．1B.C．3D．9探究点一　给角求值问题(三角函数式的化简、求值)例1　求值：(1)[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]；(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－·cos(θ＋15°)．变式迁移1　求值：(1)；(2)tan(－θ)＋tan(＋θ)＋tan(－θ)tan(＋θ)．探究点二　给值求值问题(已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值)例2　已知0βα，cos＝，sin＝，求sin(α＋β)的值．变式迁移2　(2011·广州模拟)已知tan＝2，tanβ＝.(1)求tanα的值；(2)求的值．探究点三　给值求角问题(已知某角的三角函数值，求另一角的值)例3　已知0αβπ，tan＝，cos(β－α)＝.(1)求sinα的值；　(2)求β的值．变式迁移3　(2011·岳阳模拟)若sinA＝，sinB＝，且A、B均为钝角，求A＋B的值．转化与化归思想的应用例　(12分)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝.(1)求cos(α－β)的值；(2)若－β0α，且sinβ＝－，求sinα的值．【答题模板】解　(1)∵|a－b|＝，∴a2－2a·b＋b2＝.[2分]又∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，∴a2＝b2＝1，a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)，[4分]故cos(α－β)＝＝＝.[6分](2)∵－β0α，∴0α－βπ.∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝.[8分]又∵sinβ＝－，－β0，∴cosβ＝.[9分]故sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝×＋×＝.[12分]【突破思维障碍】本题是三角函数问题与向量的综合题，唯一一个等式条件|a－b|＝，必须从这个等式出发，利用向量知识化简再结合两角差的余弦公式可求第(1)问，在第(2)问中需要把未知角向已知角转化再利用角的范围来求，即将α变为(α－β)＋β.【易错点剖析】|a－b|平方逆用及两角差的余弦公式是易错点，把未知角转化成已知角并利用角的范围确定三角函数符号也是易错点．1．转化思想是实施三角变换的主导思想，变换包括：函数名称变换，角的变换，“1”的变换，和积变换，幂的升降变换等等．2．变换则必须熟悉公式．分清和掌握哪些公式会实现哪种变换，也要掌握各个公式的相互联系和适用条件．3．恒等变形前需已知式中角的差异，函数名称的差异，运算结构的差异，寻求联系，实现转化．4．基本技巧：切割化弦，异名化同，异角化同或尽量减少名称、角数，化为同次幂，化为比例式，化为常数．(满分：75