常微分方程--李淑娟3.pptVIP

* 大连大学数学建模工作室 2013.08.30 李淑娟 函数，是反映客观现实世界运动过程中量与量之间的一种关系。 现实中的量与量之间的关系稍微复杂一些，不能直接写出它们之间的关系，但容易地建立这些变量和它们的导数（或微分）直接的关系式。 表示未知函数、未知函数的导数(微 分) 以及自变量之间的关系的方程。 未知函数是多元函数的微分方程 未知函数是一元函数的微分方程。 微分方程 常微分方程 偏微分方程 引例：曲线方程 已知曲线上任意一点处切线的斜率等于该点横坐标3倍，且过点(-1,3)，求此曲线方程。 （1）根据规律列方程 利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。 （2）微元分析法 利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。 建立微分方程模型的方法 在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。 建立微分方程模型的方法 （3）模拟近似法 微分方程是数学建模中用到的最广泛的 模型之一。它可以应用于预测人口的走势， 种群的增长，污染物的扩散等实际问题的解 决中 。 数学建模中常用的微分方程模型 人口增长模型 1 传染病传播模型 2 人口增长模型 种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，短时间内改变的是少数个体，与整体数量相比，这种变化是很微小的。 我们通常假定大规模种群的个体数量是时间的连续可微函数，由此引起的误差将是十分微小的。 马尔萨斯(Malthus)模型 人口增长模型 阻滞增长(Logistic)模型 模型1：马尔萨斯（Malthus）模型 等式两边同时除以 ，有 由初始条件 ，即为初始时刻的人口数 再运用极限的思想，令 有 故解方程得 当r0,人口将以指数规律增长。 当r0,人口将以指数规律减少。 当r=0,人口将保持常数。 马尔萨斯模型的一个显著特点： 种群数量翻一番所需的时间是固定的 几何级数增长 马尔萨斯模型人口预测图 模型检验 人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果基本相符。 Malthus模型实际上只有在群体总数不太大时才合理，到总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现象。 所以Malthus模型假设的人口净增长率不可能始终保持常数，它应当与人口数量有关。 得出结论： Malthus模型只适用于短时期预测 模型2：阻滞增长（Logistic）模型 人口净增长率应与人口数量有关，即反应了自然因素对人口增长的影响，令r=r(N) 1 r(N)是未知函数，但根据实际背景， 它无法用拟合方法 来求. 2 为了得到实际意义的模型，我们不妨采用一下工程师原则. 工程师们在建立实际问题的数学模型时，总是采用尽可能简单的方法. 3 r(N)最简单的形式是常数，此时得到Malthus模型。对Malthus模型的最简单的改进就是引入一次项（竞争项）. 分析： 注：设环境能供养的种群数量的上界为K（近似地将K看成常数），N表示当前的种群数量。 故 故满足初始条件N(0)=N0的解为： 易见： N(0)=N0 ， 不同初始条件下的N(t)的图形 大量实验资料表明用Logistic模型来描述种群的增长规律，效果还是相当不错的。 例如，1945年克朗皮克（Crombic）做了一个人工饲养小谷虫的实验；数学生物学家高斯（E·F·Gauss）也做了一个原生物草履虫实验，实验结果都和Logistic曲线十分吻合。 模型检验 高斯把5只草履虫放进一个盛有0.5cm3营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天230.9%的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量375个，实验数据与r=2.309，N(0)=5的Logistic曲线： 几乎完全吻合，见图3.6。 图3-6 Malthus模型和Logistic模型均为对微分方程