【课堂新坐标】2015届高考数学新一轮复习 详细分类题库 考点18 解三角形应用举例（文、理）（含详解，13高考题） .doc

考点18 解三角形应用举例,AB=,AD=3,则BD的长为　　　　　　　　. 【解题指南】显然,sin∠BAC=cos∠BAD,用余弦定理. 【解析】sin∠BAC===cos∠BAD, 在△BAD中,BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD=18+9-2××3×=3, 所以BD=. 【答案】 二、解答题 2.（2013·重庆高考理科·Ｔ20）在△中，内角、、的对边分别是、、，且． （Ⅰ）求； （Ⅱ）设，，求的值． 【解题指南】直接利用余弦定理可求出的值，由和差公式及的值通过化简可求出的值. 【解析】（Ⅰ）因为 由余弦定理有故. （Ⅱ）由题意得 因此 ① 因为,所以 因为即 解得 由①得, 解得或. 3. （2013·重庆高考文科·Ｔ18）在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a2=b2+c2+ab. （Ⅰ）求； （Ⅱ）设a=,S为△ABC的面积,求S+3cosBcosC的最大值,并指出此时B的值. 【解题指南】直接利用余弦定理可求出的值，再利用正弦定理求解S+3cosBcosC的最大值，并指出此时的值. 【解析】（Ⅰ）由余弦定理得 又因为,所以 （Ⅱ）由（Ⅰ）得又有正弦定理及得 因此, 所以,当,即时, 取最大值 4. （2013·山东高考理科·Ｔ17）设△ABC的内角A，B，Ca，b，ca+c=6，b=2，cosB=.（1）求a，c可得到ac的关系式，再和已知a+c=6联立方程，可得a，c的值；（2）由知，需先求出sinA,sinB,cosA,cosB的值，可先利用同角三角函数基本关系式求出sinB,然后由正弦定理求出sinA，进而求得cosA，从而本题得解. 【解析】（1）由与余弦定理得，得 又a+c=6，b=2，cosB=，所以ac=9，解得a=3,c=3. （2）在△ABC中，, 由正弦定理得. 因为a=c，所以A为锐角. 所以. 因此. 5.（2013·福建高考文科·Ｔ21）如图,在等腰直角中,, ,点在线段上. （I）若,求的长; （II）若点在线段上,且,问:当取何值时,的面积最小?并求出面积的最小值. 【解题指南】由等腰知，此时，可解；第(II)问,按“求什么设什么”列式求解，将面积表达式写出，利用三角函数计算公式求解。 【解析】（Ⅰ）在中，，，， 由余弦定理得，，得，解得或． （Ⅱ）设，，在中，由正弦定理，得， 所以， 同理 故 因为，，所以当时，的最大值为，此时的面积取到最小值．即时，的面积的最小值为． ，. (1)求索道AB的长. (2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内? 【解题指南】(1)利用正弦定理确定出AB的长.(2)先设再建立时间t与甲、乙间距离d的函数关系式,利用关系式求最值.(3)利用条件“使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟”建立不等式求解. 【解析】(1)在△ABC中,因为cosA=,cosC=,所以sinA=,sinC=. 从而sinB=sin[π-(A+C)][ =sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC =， 由正弦定理=,得 AB=×sinC= =1040(m). 所以索道AB的长为1040m. (2)假设乙出发t分钟后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130tm,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×=200(37t2-70t+50), 因0≤t≤,即0≤t≤8, 故当t= (min)时,甲、乙两游客距离最短. (3)由正弦定理=,得BC=×sinA==500(m). 乙从B出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),还需走710m才能到达C. 设乙步行的速度为vm/min,由题意得-3≤ ≤3,解得 所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在[，] (单位:m/min)范围内.