【课堂新坐标】2015届高考数学新一轮复习 详细分类题库 考点31 直接证明与间接证明（文、理）（含详解，13高考题） .doc

考点31 直接证明与间接证明an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项，…的最小值记为Bn，dn=An－Bn． ()若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，)，写出d1，d2，d3，d4d为非负整数，证明：dn=－d(n=1,2,3…){an}为a1=2，dn=1(n=1,2,3…{an}的项只能是1或2，且有无穷多项为1 【解题指南】(1)根据{dn}的定义求. (2)充分性:先证明{an}是不减数列,再利用定义求dn; 必要性:先证明{an}是不减数列,再利用定义证明等差. (3)可通过取特殊值和反证法进行证明. 【解析】（1），， ，。 充分性： 若为公差为的等差数列，则. 因为是非负整数，所以是常数列或递增数列. ，， (n=1,2,3,…). 必要性： 若，假设是第一个使得的项，则 ，， ，这与矛盾. 所以是不减数列. ，即， 是公差为的等差数列. （3）①首先中的项不能是0，否则，与已知矛盾. ②中的项不能超过2，用反证法证明如下： 若中有超过2的项，设是第一个大于2的项， 中一定存在项为1，否则与矛盾. 当时，，否则与矛盾. 因此存在最大的i在2到k-1之间，使得， 此时，矛盾. 综上中没有超过2的项. 综合①②，中的项只能是1或2. 下面证明1有无数个，用反证法证明如下： 若为最后一个1，则，矛盾. 因此1有无数个. 2.（2013·北京高考文科·Ｔ20）给定数列a1，a2，…，an。对i=1，2，…n-l，该数列前i项的最大值记为Ai，后n-i项ai+1，ai+2，…，an的最小值记为Bi，di=Ai-Bi. （1）设数列{an}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值. （2）设a1，a2，…，an（n≥4）是公比大于1的等比数列，且a1＞0.证明：d1，d2，…dn-1是等比数列。 （3）设d1，d2，…dn-1是公差大于0的等差数列，且d1＞0，证明：a1，a2，…，an-1是等差数列。 【解题指南】(1)利用di的公式,求d1,d2,d3的值. (2)先求出{dn}的通项,再利用等比数列的定义证明{dn}是等比数列. (3)先证明{an}是单调递增数列,再证明an是数列{an}的最小项,最后证明{an}是等差数列. 【解析】（1），，。 （2）由是公比大于1的等比数列，且a1＞0，可得的通项为且为单调递增数列。 于是当时，为定值。 因此d1，d2，…dn-1构成首项，公比的等比数列。 （3）若d1,d2,…,dn-1是公差大于0的等差数列,则0d1d2…dn-1, 先证明a1,a2,…,an-1是单调递增数列,否则,设ak是第一个使得ak≤ak-1成立的项,则 Ak-1=Ak,Bk-1≤Bk,因此dk-1=Ak-1-Bk-1≥Ak-Bk=dk,矛盾. 因此a1,a2,…,an-1是单调递增数列. 再证明an为数列{an}中的最小项,否则设akan(k=1,2,…,n-1), 显然k≠1,否则d1=A1-B1=a1-B1≤a1-a1=0,与di0矛盾. 因而k≥2,此时考虑dk-1=Ak-1-Bk-1=ak-1-ak0,矛盾. 因此,an为数列{an}中的最小项. 综上,dk=Ak-Bk=ak-an(k=1,2,…,n-1),于是ak=dk+an, 从而a1,a2,…,an-1是等差数列.