《对策论》课件.pptVIP

对策论 ;* ;* ;* ;* ;对策;第二节：矩阵对策 一、矩阵对策 矩阵对策就是二人有限零和对策。它是指这样一类对抗和争斗现象。 1、局中人：二人；2、每个局中人都仅有有限个可供选择的策略；3、在任何一局势中，两个局中人的得失之和恒为零，即局中人甲的所得，总是局中人乙的所失。 这类对策比较简单，在理论上也比较成熟。而且这些理论奠定了研究“对策现象”的基本思路。矩阵对策是对策论的基础。 矩阵对策：有鞍点，无鞍点;二、数学模型; 其中aij为当甲出策略ai，乙出策略βj时，甲的赢得或支付； -aij为当甲出策略ai，乙出策略βj时，乙的赢得或支付； 因为A=(aij)mxn为局中人甲的赢得矩阵； A*=(-aij)mxn为局中人乙的赢得矩阵。 以甲方赢得矩阵为准： S1=(a1，a2，…，am)叫甲的策略集合； S2=(β1，β2，…，βn)叫乙的策略集合； 为了和以后的（无鞍点、混合策略相区别），称ai，βj叫做纯策略。 于是，矩阵对策可记为G，G={S1，S2，A};三、最优纯策略 有鞍点的对策纯策略有解 1、引例：求矩阵对策G={S1，S2，A}在纯策略中的解，其中：;甲希望赢得值aij越大越好。考虑到对方是聪明的、理智的，不冒风险，以最坏处着想，把每个纯策略都碰上坏运气的情况找出来，显然方案a2最好，它可以稳拿a2。若对方图侥幸，乱选方案，则自己的赢得更大，因此甲的最优纯策略ai*=a2。;乙希望赢得值（-aij）越大越好。采用每一个纯策略，都由于对方的对抗而碰上坏运气。以最坏处着想，则方案β2最好，最优纯策略βj*=β2，其赢得值为2，若甲方图侥幸，乱选方案，则自己的赢得更大。;2、定义：设对于矩阵对策G，G={S1，S2，A} 有等式： ;3、性质 （1）定理一：有鞍点存在是对策G={S1，S2，A}在纯策略中有解的充分必要条件。 （2）对策G在纯策略中可能有多重解。若（a1，β2）与（a3，β4）是两个解，则： (a) a12=a34 (无差别性)； （b）（a1，β4）与（a3，β2）也是对策G的解（可交换性） 矩阵对策若在纯策略中有解，则局中人可以告诉对方自己选定的最优策略而不吃亏。;4、无鞍点的矩阵对策（介绍混合对策及混合扩充）; 由概率论的知识及决策论的启示，我们要考虑随机因素，衡量方案的优劣可用赢得的期望值来衡量，以赢得期望值的大小作为标准。 对于此例，设甲以概率x选策略a1，以概率（1-x）选策略a2；设乙以概率y选策略β1，以概率（1-y）选策略β2，则甲的期望赢得值为E(x,y),; 若乙方图侥幸，取y=1/2，则甲方可取x=1/4，使乙方的期望赢得负得更多，输得更惨。 所以以不冒风险，稳操胜算的想法出发，甲的最优策略是以概率1/2出方案a1，E(x,y)=5/2。乙的最优策略是以概率1/4出方案β1，-E(x,y)=-5/2。 在期望值的意义上存在鞍点。 一般地： 定义一、给定一个矩阵对策G={S1，S2，A}，S1=(a1，a2，…，am)， S2=（β1，β2，…，βn），A=(aij)mxn，我们把纯策略 集合对应的概率向量： x=(x1，x2，…，xm)，y=(y1，y2，…，yn)。 分别称为局中人甲和局中人乙的混合策略，简称策略。;这里xi是甲选取ai的概率，xi≥0， ;定义2、称数学期望 ;分析：局中人采取混合策略时，由于局中人的对抗，使甲有可能只获得（最坏情况）：;定义四：设G*={Sm，Sn，E}是矩阵对策G={S1，S2，A}的混合扩充，如果存在x*∈Sm，y*∈Sn（选定策略），使：;定理二、（对策的基本）：对任何一个给定的???阵对策G={S1，S2，A}，量;第三节、矩阵对策的求解法 一、一般求解法（LP） 定义三、等式②成立的充要条件是存在（选定策略）x*∈Sm，y*∈Sn，得数V，使：;由定义三、我们可以构造出二个线性规划问题求（x*，y*）;带入消去V2得：;x，y，Jm，Jn都规定为行向量： Jm=(1，1，…，1)m维；Jn=(1，1，…，1)n维。;例一、已知G={S1，S2，A}， ;注：其中 ;例如：;3、将不等式化为等式求解： 定理五：如果（x*，y*）是对策G的最优混合局势，则对某一个i或j来说： ;除此以外，可能有：;G*={Sm，Sn，E}，观察A，可知行和列的元素差异不大， 故尝试： 设xi*≠0，y