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5.7 正定二次型 一、惯性定理 二、正(负)定二次型的概念 三、正(负)定二次型的判别 四、小结 思考题 思考题解答 一个实二次型,既可以通过正交变换化为标 准形,也可以通过拉格朗日配方法化为标准形, 显然,其标准形一般来说是不唯一的,但标准形 中所含有的项数是确定的,项数等于二次型的秩. 实际上,当我们限定所用的变换为实变换时, 二次型的标准形还有如下一些性质. 证明: 由上面定理知,存在正交矩阵P,使得 结论: 且 令 则K 可逆 这个定理称为惯性定理,这里不予证明。 二次型的标准形中,正系数的个数称为二次型的正惯性指数,负系数的个数称为负惯性指数。 为正定二次型 为负定二次型 例如 证明 充分性 故 必要性 用反证法。 故 推论 对称矩阵 为正定的充分必要条件是: 的特征值全为正. 这个定理称为霍尔维茨定理. 定理3 对称矩阵 为正定的充分必要条件是: 的各阶主子式为正,即 对称矩阵 为负定的充分必要条件是:奇数阶主 子式为负,而偶数阶主子式为正,即 正定矩阵具有以下一些简单性质 例1 判别二次型 是否正定. 解 它的顺序主子式 故上述二次型是正定的. 例2 判别二次型 是否正定. 解 二次型的矩阵为 用特征值判别法. 故此二次型为正定二次型. 即知 是正定矩阵, 例3 判别二次型 的正定性. 解 2. 正定二次型(正定矩阵)的判别方法: (1)定义法; (2)顺次主子式判别法; (3)特征值判别法. 1. 正定二次型的概念,正定二次型与正定 矩阵的区别与联系. 3. 根据正定二次型的判别方法,可以得到 负定二次型(负定矩阵)相应的判别方法,请大 家自己推导.
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