【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.1.3 导学的几何意义课后知能检测 新人教B版选修2-2.doc

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.1.3 导学的几何意义课后知能检测 新人教B版选修2-2 一、选择题 1．已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′|x＝2等于(　　) A．1　　　　B．－1　　　　C．－3　　　　D．3 【解析】　由题意知f′(2)＝3，即y′|x＝2＝3. 【答案】　D 2．在曲线y＝x2上切线倾斜角为的点是(　　) A．(0,0) B．(2,4) C．(，) D．(，) 【解析】　k＝ ＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x， 2x＝tan ＝1， x＝.从而y＝.故选D. 【答案】　D 3．已知函数y＝f(x)的图象如图1－1－7所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是(　　) 图1－1－7 【解析】　由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x0时f′(x)0，当x＝0时，f′(x)＝0，当x0时，f′(x)0，故B符合． 【答案】　B 4．已知曲线f(x)＝ax3＋1在点(1，f(1))处的切线方程为3x－y－1＝0，则a＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】　因为切点在切线上，所以3×1－f(1)－1＝0，即f(1)＝2，又因为切点(1，f(1))也在曲线y＝f(x)上，所以2＝a×13＋1，即a＝1. 【答案】　A 5．设曲线y＝ax2在点(2,4a)处的切线与直线4x－y＋4＝0垂直，则a＝(　　) A．2 B．－ C. D．－1 【解析】　由y＝ax2得： Δy＝a(x＋Δx)2－ax2 ＝2axΔx＋a(Δx)2， 则＝2ax＋aΔx，所以y′＝2ax， 则y′|x＝2＝4a， 又y＝ax2在点(2,4a)处的切线与直线4x－y＋4＝0垂直， 4a＝－，a＝－. 【答案】　B 二、填空题 6．如果函数f(x)在x＝x0处的切线的倾斜角是钝角，那么函数f(x)在x＝x0附近的变化情况是________(填“逐渐上升”或“逐渐下降”)． 【解析】　由题意知f′(x0)0，根据导数的几何意义知，f(x)在x＝x0附近的变化情况是“逐渐下降”． 【答案】　逐渐下降 7．已知函数f(x)＝ex，且其导函数f′(x)＝ex，则函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为________． 【解析】　f(0)＝e0＝1， f′(0)＝e0＝1， 故由点斜式得切线方程为 y－1＝1×(x－0)， 即x－y＋1＝0. 【答案】　x－y＋1＝0 8．若曲线y＝2x2－4x＋p与直线y＝1相切，则p的值为________． 【解析】　设切点坐标为(x0,1)， Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝2(x0＋Δx)2－4(x0＋Δx)＋p－(2x－4x0＋p) ＝4x0Δx－4Δx＋2(Δx)2， ＝4x0－4＋2Δx， f′(x0)＝ (4x0－4＋2Δx)＝4x0－4. 由题意知4x0－4＝0.x0＝1，即切点坐标为(1,1)． 1＝2－4＋p，p＝3. 【答案】　3 三、解答题 9．如果曲线y＝x2＋x－3的某一条切线与直线y＝3x＋4平行，求切点坐标与切线方程． 【解】　切线与直线y＝3x＋4平行， 斜率为3，设切点坐标为(x0，y0)， 则＝3. 又＝ ＝ ＝ ＝ (Δx＋2x0＋1)＝2x0＋1， 2x0＋1＝3.从而x0＝1，代入y＝x2＋x－3得y0＝－1，切点坐标为(1，－1)． 切线的方程为y＋1＝3(x－1)，即3x－y－4＝0. 10．试求过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程． 【解】　y′＝ ＝ ＝2x. 设所求切线的切点为A(x0，y0)． 点A在曲线y＝x2上， y0＝x， 又A是切点， 过点A的切线的斜率＝2x0， 所求切线过P(3,5)和A(x0，y0)两点， 其斜率为＝. 2x0＝， 解之得x0＝1或x0＝5. 从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)． 当切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2； 当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10. 所求的切线有两条，方程分别为y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)，即y＝2x－1和y＝10x－25. 11．已知曲线y＝x2＋1，问是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解】　存在． 由导数的定义知 y′＝ ＝ ＝2x. 设切点为(t，t2＋1)，因为y′＝2x， 所以切线的斜率为y′|x＝t＝2t， 于是可得切线方程为y－(t2＋1)＝2t(x－t)． 将(1，a)代入，得a－(t2＋1)＝2t(1－t)， 即t2－2t＋(a－1)＝0，因为切线有两条， 所以Δ＝(－2)2－4(a－1)0，解得a2.故存在实数a，使得经过点