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【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 1.2 导学的运算课后知能检测 新人教B版选修2-2
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 1.2 导学的运算课后知能检测 新人教B版选修2-2
一、选择题
1.已知函数f(x)=5,则f′(1)等于( )
A.5 B.1 C.0 D.不存在
【解析】 f(x)=5,
f′(x)=0,
f′(1)=0.
【答案】 C
2.已知f(x)=xn且f′(-1)=-4,则n等于( )
A.4 B.-4 C.5 D.-5
【解析】 f′(x)=nxn-1,f′(-1)=n(-1)n-1=-4.
若(-1)n-1=-1,则n=4,此时满足(-1)n-1=-1;
若(-1)n-1=1,则n=-4,此时不满足(-1)n-1=1.
∴n=4
【答案】 A
3.正弦曲线y=sin x上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是( )
A.[0,][π,π) B.[0,π)
C.[,π] D.[0,][,π]
【解析】 (sin x)′=cos x,
直线l的斜率kl=cos x,
∴-1≤kl≤1,
∴直线l的倾斜角的范围是[0,]∪[π,π).
【答案】 A
4.已知直线y=kx是曲线y=ex的切线,则实数k的值为( )
A. B.-
C.-e D.e
【解析】 设切点坐标为(x0,y0),y′=(ex)′=ex,
【答案】 D
5.若曲线y=在点(a,)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则a=( )
A.64 B.32 C.16 D.8
【答案】 A
二、填空题
6.若y=10x,则y′|x=1=________.
【解析】 y′=10xln 10,y′|x=1=10ln 10.
【答案】 10ln 10
7.直线y=x+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,则实数b=________.
【解析】 设切点坐标为(x0,y0),则y0=ln x0.
y′=(ln x)′=,
=,由题意知=,
x0=2,y0=ln 2.
由ln 2=×2+b,得b=ln 2-1.
【答案】 ln 2-1
8.抛物线y=x2上的点到直线x-y-2=0的距离的最小值为________.
【解析】 与直线x-y-2=0平行的抛物线的切线的切点到直线x-y-2=0距离最小.易知切点为(,),d=.
【答案】
三、解答题
9.若质点P的运动方程是s=(s的单位为m,t的单位为s),求质点P在t=8 s时的瞬时速度.
质点P在t=8 s时的瞬时速度为 m/s.
10.已知点P(-1,1),点Q(2,4)是曲线y=x2上的两点,求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程.
【解】 y′=(x2)′=2x,设切点为M(x0,y0),
则=2x0,
又PQ的斜率为k==1,而切线平行于PQ,
k=2x0=1,即x0=,
所以切点为M(,).
所求的切线方程为y-=x-,即4x-4y-1=0.
11.求证:曲线xy=1上任何一点处的切线与坐标轴构成的三角形面积为常数.
【证明】 由xy=1,得y=,
所以y′=-.
在曲线xy=1上任取一点P(x0,),则过点P的切线的斜率k=-,
切线方程为y-=-(x-x0),即y=-x+.
设该切线与x轴、y轴分别相交于A、B两点,则A(2x0,0)、B(0,),
故SOAB=|OA|·|OB|=|2x0|·||=2,
所以曲线上任意一点处的切线与坐标轴构成的三角形面积为常数.
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