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* 第十一单元相似形 第38课时相似形 [学生用书P24] 本课时复习主要解决下列问题. 1.线段的比例式和黄金分割等概念,用比例的有关性质解决简单问题 为此设计了[限时集训]中的第1,2,7题. 2.图形的相似,相似三角形的判定条件 此内容为本课时的重点.为此设计了[归类探究]中的例1;[限时集训]中的第4,8,9,11,15题. 3.相似多边形,相似三角形的判定与性质 此内容为本课时的重点.为此设计了[归类探究]中的例2(包括预测变形1,2,3,4);[限时集训]中的第3,5,10,12,14题. 4.解决与相似三角形有关的综合问题 此内容为本课时的难点.为此设计了[归类探究]中的例3;[限时集训]中的第6,13题. 1.相似图形 定义:具有相同形状的图形称为相似图形. 2.比例线段 定义:在四条线段a、b、c、d中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,即ab=cd(或a∶b=c∶d),那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段,简称比例线段. 注意:(1)线段a、b、c、d成比例是有顺序的,表示ab=cd(或a∶b=c∶d); 3.比例线段的性质 性质:(1)基本性质:如果a∶b=c∶d或ab=cd,那么ad=bc;特 别地,如果a∶b=b∶c或ab=bc,那么b2=ac. (2)合比性质:如果ab=cd,那么a±bb=c±dd. 4.相似多边形 定义:对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形. 注意:仅对应边成比例的两个多边形不一定相似,如菱形;仅对应角相等的两个多边形也不一定相似,如矩形. 相似比:相似多边形对应边的比叫做相似比. 注意:相似比为1的两个多边形全等. 性质:(1)相似多边形的对应角相等,对应边的比相等; (2)相似多边形周长的比等于相似比; (3)相似多边形面积的比等于相似比的平方. 5.相似三角形 定义:对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形. 判定:(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似; (2)如果两个三角形的三组对应边的比相等, 那么这两个三角形相似; (3)如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等, 那么这两个三角形相似; (4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等, 那么这两个三角形相似; (5)如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应的比相等,那么 这两个直角三角形相似. 注意:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形彼 此相似. 性质: (1)相似三角形的对应角相等,对应边成比例; (2)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都 等于相似比; (3)相似三角形周长的比等于相似比; (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方. 注意:利用相似三角形的性质得到对应角相等或对应线段成比例时, 要注意对应关系。 类型之一相似三角形的判定 [2010·珠海]如图38-1,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B. (1)求证:△ADF∽△DEC; (2)若AB=4,AD=33,AE=3, 求AF的长. 【解析】(1)证明∠AFD=∠C,∠ADF=∠CED;(2)由△ADF∽△DEC,得ADDE=FACD,而AD、DE、CD已知或可求,容易求出FA. 解: (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AB∥CD, ∴∠ADF=∠CED,∠B+∠C=180°. ∵∠AFE+∠AFD=180°,∠AFE=∠B, ∴∠AFD=∠C,∴△ADF∽△DEC. (2)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,CD=AB=4. 又∵AE⊥BC,∴ AE⊥AD. 在Rt△ADE中,DE=AD2+AE2 =(33)2+32=6. ∵△ADF∽△DEC,∴ADDE=AFCD,∴336=AF4, ∴AF= 23. 【点悟】判定两三角形相似,若出现一对角相等时, 则考虑还能否找到另一对角相等,或夹这个角的两边 对应成比例. 类型之二相似三角形的性质的运用 [2011·预测题]如图38-2,梯形ABCD中,AD∥BC,两腰BA与CD的延长线相交于P,PF⊥BC,AD=2,BC=5,EF=3,则PF=5. 【解析】本题利用相似三角形对应边上的高的比等于相似比来列式计算. ∵AD∥BC,∴△PAD∽△PBC.又P
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