【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.2.3 导学的四则运算法则课后知能检测 新人教B版选修2-2.doc

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.2.3 导学的四则运算法则课后知能检测 新人教B版选修2-2 一、选择题 1．(2013·深圳高二检测)函数y＝cos (－x)的导数是(　　) A．cos x　　　　　　　B．－cos x C．－sin x D．sin x 【解析】　y′＝－sin (－x)(－x)′＝－sin x. 【答案】　C 2．若f(x)＝，则f(x)的导数是(　　) A. B. C. D. 【解析】　f′(x)＝＝. 【答案】　A 3．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是(　　) A．－9　　　B．－3　　　C．9　　　D．15 【解析】　 y′＝3x2，y′|x＝1＝3，切线方程为y－12＝3(x－1)，即y＝3x＋9，令x＝0，得y＝9. 【答案】　C 4．某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y＝f(t)＝，则在时刻t＝40 min的降雨强度为(　　) A．20 mm B．400 mm C. mm/min D. mm/min 【解析】　f′(t)＝·10＝， f′(40)＝＝. 【答案】　D 5．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 【解析】　设切点P(x0，y0)，则y0＝x0＋1＝ln(x0＋a)． 又由＝＝1，解得x0＋a＝1， y0＝0，x0＝－1， a＝2. 【答案】　B 二、填空题 6．(2013·广东高考)若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________. 【解析】　因为y′＝2ax－，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，a＝. 【答案】　 7．已知函数f(x)＝f′()sin x＋cos x，则f′()＝________. 【解析】　f′(x)＝f′()cos x－sin x， f′()＝f′()cos －sin ＝－1， f′(x)＝－cos x－sin x， f′()＝－cos －sin ＝－. 【答案】　－ 8．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形面积是________． 【解析】　y′＝－2e－2x， y′|x＝0＝－2，切线方程为y＝－2x＋2. 所围成的三角形的三个顶点为(0,0)，(1,0)，(，)． S＝×1×＝. 【答案】　 三、解答题 9．已知函数f(x)＝ln(ax＋1)＋，x≥0，其中a＞0，若f′(1)＝0，求a的值． 【解】　f′(x)＝[ln(ax＋1)]′＋()′ ＝＋， f′(1)＝－＝0， a＝1. 因此实数a的值为1. 10．若函数f(x)＝在x＝c处的导数值与函数值互为相反数，求c的值． 【解】　由于f(x)＝，f(c)＝， 又f′(x)＝＝， f′(c)＝. 依题意知f(c)＋f′(c)＝0， ＋＝0， 2c－1＝0得c＝. 11．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值． 【解】　(1)由7x－4y－12＝0得y＝x－3. 当x＝2时，y＝，f(2)＝2a－＝， 又f′(x)＝a＋，f′(2)＝a＋＝. 由得解之，得 故f(x)＝x－. (2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知， 曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为 y－y0＝(1＋)(x－x0)， 即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)． 令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－)． 令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)． 所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6. 故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.