【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.4 柱坐标系与球坐标系简介教案 新人教A版选修4-4.doc

四柱坐标系与球坐标系简介 课标解读 1.了解柱坐标系、球坐标系的意义，能用柱坐标系、球坐标系刻画简单问题中的点的位置． 2．知道柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式，并用于解题. 1．柱坐标系 图1－4－1 如图1－4－1所示，建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点．它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(zR)表示．建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ2π，zR. 2．球坐标系 图1－4－2 建立如图1－4－2所示的空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ.设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示．这样，空间的点与(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)． 有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记做P(r，φ，θ)，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π)． 3．空间直角坐标与柱坐标的转化 空间点P(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为 4．空间直角坐标与球坐标的关系 空间点P(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换公式为 1．要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制？ 【提示】　空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是距离． 2．在柱坐标系中，方程ρ＝1表示空间中的什么曲面？在球坐标系中，方程r＝1分别表示空间中的什么曲面？ 【提示】　ρ＝1表示以z轴为中心，以1为半径的圆柱面；球坐标系中，方程r＝1表示球心在原点的单位球面． 3．空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系的联系和区别有哪些？ 【提示】　(1)柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标系为背景，柱坐标系中一点在平面xOy内的坐标是极坐标，竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同；球坐标系中，则以一点到原点的距离和两个角刻画点的位置． (2)空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系都是空间坐标系，空间点的坐标都是三个数值的有序数组. 点的柱坐标与直角坐标互化 　(1)设点M的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标系中的坐标． (2)设点N的柱坐标为(π，π，π)，求它的直角坐标． 【思路探究】　(1)已知直角坐标系中的直角坐标化为柱坐标，利用公式求出ρ，θ即可． (2)已知柱坐标系中的柱坐标化为直角坐标，利用公式求出x，y，z即可． 【自主解答】　(1)设M的柱坐标为(ρ，θ，z)， 则由解之得，ρ＝，θ＝. 因此，点M的柱坐标为(，，1)． (2)设N的直角坐标为(x，y，z)， 则由得 因此，点N的直角坐标为(－π，0，π)． 1．由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点M的柱坐标为(ρ，θ，z)，代入变换公式求ρ；也可以利用ρ2＝x2＋y2，求ρ.利用tan θ＝，求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值． 2．点的柱坐标和直角坐标的竖坐标相同． 　根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标： (1)(2，，3)；(2)(，，5)． 【解】　设点的直角坐标为(x，y，z)． (1) 因此所求点的直角坐标为(－，1,3)． (2) 故所求点的直角坐标为(1,1,5)． 将点的球坐标化为直角坐标 　已知点M的球坐标为(2，π，π)，求它的直角坐标． 【思路探究】　球坐标 直角坐标 【自主解答】　设点的直角坐标为(x，y，z)． 则 因此点M的直角坐标为(－1,1，－)． 1．根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系，首先要明确点的球坐标(r，φ，θ)中角φ，θ的边与数轴Oz，Ox的关系，注意各自的限定范围，即0≤φ≤π，0≤θ2π. 2．化点的球坐标(r，φ，θ)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式转化为三角函数的求值与运算． 　若例2中“点M的球坐标改为M(3，π，π)”，试求点M的直角坐标． 【解】　设M的直角坐标为(x，y，z)． 则 点M的直角坐标为(，－，－)． 空间点的直角坐标化为球坐标 　 图1－4－3 已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面正方形ABCD的边长为1，棱AA1的长为，如图1－4－3所示，建立空间直角坐标系Axyz，Ax为极轴，求点C1的直角坐标和球坐标． 【思路探究】　先确定C1的直角坐标，再根据空间直角坐标系与球坐标系的联系，计算球坐标． 【自主解答】　点C1的直角坐标为(1,1，)． 设C1的球坐标为(r，φ，θ)，其中r≥