【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.4 直角三角形的射影定理课后知能检测 新人教A版选修4-1.doc

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.4 直角三角形的射影定理课后知能检测 新人教A版选修4-1 一、选择题 1．△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝3，BD＝2，则AC∶BC的值是(　　) A．3∶2　　　　　　　 B．9∶4 C.∶ D.∶ 【解析】　如图，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理知AC2＝AD·AB， BC2＝BD·AB， 又∵AD＝3，BD＝2，∴AB＝AD＋BD＝5， ∴AC2＝3×5＝15，BC2＝2×5＝10. ∴＝＝，即AC∶BC＝∶， 故选C. 【答案】　C 2. 如图1－4－7所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，若CD＝6，AD∶DB＝1∶2，则AD的值是(　　) 图1－4－7 A．6 B．3 C．18 D．3 【解析】　由题意知 ∴AD2＝18， ∴AD＝3. 【答案】　B 3．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若＝，则等于(　　) A.　　 B. C.　　 D. 【解析】　如图，由射影定理，得AC2＝CD·BC，AB2＝BD·BC， ∴＝＝()2， 即＝，∴＝. 【答案】　C 4．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若BD：AD＝1：4，则tan∠BCD的值是(　　) A. 　　　 B.　　　 C.　　　 D．2 【解析】　如图，由射影定理得CD2＝AD·BD， 又∵BD：AD＝1：4， 令BD＝x，则AD＝4x(x0)． ∴CD2＝AD·BD＝4x2，∴CD＝2x， 在Rt△CDB中，tan∠BCD＝＝＝. 【答案】　C 二、填空题 图1－4－8 5．如图1－4－8，在矩形ABCD中，AE⊥BD，OF⊥AB.DE∶EB＝1∶3，OF＝a，则对角线BD的长为________． 【解析】　∵OF＝a， ∴AD＝2a， ∵AE⊥BD， ∴AD2＝DE·BD. ∵DE∶EB＝1∶3，∴DE＝BD， ∴AD2＝BD·BD. ∴BD2＝4AD2＝4×4a2＝16a2，∴BD＝4a. 【答案】　4a 6．已知在梯形ABCD中，DC∥AB，∠D＝90°，AC⊥BC，AB＝10 cm，AC＝6 cm，则此梯形的面积为________． 【解析】　如图，过C点作CE⊥AB于E. 在Rt△ACB中， ∵AB＝10 cm，AC＝6 cm， ∴BC＝8 cm， ∴BE＝6.4 cm，AE＝3.6 cm. ∴CE＝＝4.8(cm)， ∴AD＝4.8 cm. 又∵在梯形ABCD中，CE⊥AB， ∴DC＝AE＝3.6 cm. ∴S梯形ABCD＝＝32.64(cm2)． 【答案】　32.64 cm2 三、解答题 7．已知直角三角形周长为48 cm，一锐角平分线分对边为3∶5两部分. (1)求直角三角形的三边长； (2)求两直角边在斜边上的射影的长． 【解】　(1)如图，设CD＝3x，BD＝5x，则BC＝8x，过D作DE⊥AB， 由题意可得， DE＝3x，BE＝4x， ∴AE＋AC＋12x＝48. 又AE＝AC， ∴AC＝24－6x，AB＝24－2x， ∴(24－6x)2＋(8x)2＝(24－2x)2， 解得：x1＝0(舍去)，x2＝2， ∴AB＝20，AC＝12，BC＝16， ∴三边长分别为：20 cm,12 cm,16 cm. (2)作CF⊥AB于F， ∴AC2＝AF·AB， ∴AF＝＝＝(cm)； 同理：BF＝＝＝(cm)． ∴两直角边在斜边上的射影长分别为 cm， cm. 图1－4－9 8．如图1－4－9，Rt△ABC中有正方形DEFG，点D、G分别在AB、AC上 ，E、F在斜边BC上，求证：EF2＝BE·FC. 【证明】　如图，过点A作AH⊥BC于H. ∴DE∥AH∥GF. ∴＝， ＝. ∵＝. 又∵AH2＝BH·CH，∴DE·GF＝BE·FC. 而DE＝GF＝EF.∴EF2＝BE·FC. 图1－4－10 9．如图1－4－10，已知：BD，CE是△ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA的延长线于G、H，交CE于F，且∠H＝∠BCF，求证：GD2＝GF·GH. 【证明】　∵∠H＝∠BCE，∠EBC＝∠GBH， ∴△BCE∽△BHG， ∴∠BEC＝∠BGH＝90°， ∴HG⊥BC. ∵BD⊥AC，在Rt△BCD中， 由射影定理得，GD2＝BG·CG.　① ∵∠FGC＝∠BGH＝90°，∠GCF＝∠H， ∴△FCG∽△BHG， ∴＝， ∴BG·GC＝GH·FG.　② 由①②得，GD2＝GH·FG. 10. 如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的高，过D作DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足．求证： (1)AE·AB＝AF·AC； (2)△AEF∽△ACB. 【证明】　(1)∵AD⊥BC，DE⊥AB