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【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质配套课件 新人教版必修4
* * * * * 原点 y轴 偶 奇 * * * * * 增函数 减函数 增函数 减函数 2kπ 2kπ+π 奇 偶 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 教师用书独具演示 * * * * * * * * * * * * * * * 演示结束 * * * * 非零常数T 每一个 f(x+T)=f(x) 非零常数T 最小的正 数 * * 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
●三维目标
1.知识与技能
(1)理解周期函数、周期函数的周期和最小正周期的定义.
(2)掌握正、余弦函数的周期和最小正周期,并能求出正、余弦函数的最小正周期.
2.过程与方法
让学生通过观察正、余弦线以及正、余弦函数图象得出正、余弦函数的周期性,并借助于诱导公式一给予代数论证这一过程,使学生学会由具体形象到抽象概括这一研究问题的方法.
3.情感,态度与价值观
让学生自己探究学习正、余弦函数的图象性质,领会从特殊推广到一般的数学思想,体会三角函数图象所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣.
●重点、难点
重点:正弦函数、余弦函数的图象及其主要性质(包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域);深化研究函数性质的思想方法.
难点:正弦函数和余弦函数的周期性,以及周期函数、(最小正)周期的意义.
●教学建议
对于函数性质的研究,学生已经有些经验.其中,通过观察函数的图象,从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法,这也是数形结合思想的应用.由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质,那么它的性质也就是完全清楚了,因此,教科书把对周期性的研究放在了首位.另外,要使学生明白研究三角函数性质就是“要研究这类函数具有的共同特点”,这是对数学思考方向的一种引导.
1.周期性
可引导学生从正、余弦线,正、余弦函数图象以及诱导公式一即形与数两个方面,归纳总结“周而复始”的变化规律,给出“周期性”概念.关于正弦函数、余弦函数的周期与最小正周期,一般只要弄清定义,并根据正弦、余弦曲线观察出结果就可以了.对于学有余力的学生,可以让他们尝试证明正弦、余弦函数的最小正周期是2π.
2.其他性质
与研究周期性的方法一样,根据正弦函数、余弦函数图象及函数解析式,同样可以直观地看出这两个函数的奇偶性、单调性、最大(小)值等性质.值得注意的是,对于周期函数性质的讨论,只要认识清楚它在一个周期内的性质,就可以得到它在整个定义域内的性质.
(1)正弦函数、余弦函数的奇偶性,无论是由图象观察,还是由诱导公式进行证明,都很容易.所以,这一性质的研究可以交给学生自主完成.
(2)正弦函数、余弦函数的单调性,只要求由图象观察,不要求证明.教学中要注意引导学生根据函数图象以及《数学1》中给出的增(减)函数定义进行描述.具体的,可以先选择一个恰当的区间(这个区间长为一个周期,且仅有一个单增区间和一个单减区间),对正弦函数在这个区间上的单调性进行描述;然后利用正弦函数的周期性说明在其他区间上的单调性.对于余弦函数的单调性,可让学生类比正弦函数的单调性自己描述.另外,从一个周期的区间推广到整个定义域上去时,学生会有些不习惯,教学中要留给学生一定的思考时间,由他们自己归纳出正弦函数、余弦函数的单调区间的一般形式.
正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论.由于问题比较简单,所以可以由学生自己去研究.同样的,对于取最大(小)值时的自变量x的一般形式,也要注意引导学生利用周期性进行正确归纳.
●教学流程
课标解读 1.掌握y=sin x(xR),y=cos x(xR)的周期性、奇偶性、单调性和最值.(重点)
2.会用正弦函数、余弦函数的性质解决一些简单的三角函数问题.(难点)
3.了解周期函数、周期、最小正周期的含义.(易混点)
【问题导思】
1.观察下列实例:
(1)海水会发生潮汐现象,大约在每一昼夜的时间里,潮水会涨落两次.
(2)钟表上的时针每经过12小时运行一周,分针每经过1小时运行一周,秒针每经过1分钟运行一周.
上述两种现象,具有怎样的属性?
【提示】 周而复始,重复出现.
2.观察正弦曲线和余弦曲线,正弦函数和余弦函数具有上述规律吗?哪个公式可以反映这种规律?
【提示】 具有.sin(x+2kπ)=sin x,cos(x+2kπ)=cos x.
1.函数的周期性
(1)对于函数f(x),如果存在一个 ,使得当x取定义域内的 值时,都有 ,那么函数f(x)就叫做周期函数, 叫做这个函数的周期.
(2)如
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