【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.2 圆锥曲线的参数方程教案 新人教A版选修4-4.doc

二圆锥曲线的参数方程 课标解读 1.了解双曲线、抛物线的参数方程． 2．理解椭圆的参数方程及其应用． 3．能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题. 1．椭圆的参数方程 普通方程 参数方程 ＋＝1(ab0) (φ为参数) ＋＝1(ab0) (φ为参数) 2.双曲线的参数方程 普通方程 参数方程 －＝1(a0，b0) (φ为参数) 3.抛物线的参数方程 (1)抛物线y2＝2px的参数方程是(tR，t为参数)． (2)参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数． 1．椭圆的参数方程中，参数φ是OM的旋转角吗？ 【提示】　椭圆的参数方程(φ为参数)中的参数φ不是动点M(x，y)的旋转角，它是点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角，称为离心角，不是OM的旋转角． 2．双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数sec φ的意义是什么？ 【提示】　sec φ＝，其中φ[0,2π)且φ≠，φ≠π. 3．类比y2＝2px(p0)，你能得到x2＝2py(p0)的参数方程吗？ 【提示】　(p0，t为参数，tR) 椭圆的参数方程及应用 　将参数方程(θ为参数)化为普通方程，并判断方程表示曲线的焦点坐标． 【思路探究】　根据同角三角函数的平方关系，消去参数，化为普通方程，进而研究曲线形状和几何性质． 【自主解答】　由得 两式平方相加，得＋＝1. a＝5，b＝3，c＝4. 因此方程表示焦点在x轴上的椭圆，焦点坐标为F1(4,0)和F2(－4,0)． 　椭圆的参数方程(θ为参数，a，b为常数，且ab0)中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长，焦点在长轴上． 　若本例的参数方程为，(θ为参数)，则如何求椭圆的普通方程和焦点坐标？ 【解】　将，化为 两式平方相加，得＋＝1. 其中a＝5，b＝3，c＝4. 所以方程的曲线表示焦点在y轴上的椭圆，焦点坐标为F1(0，－4)与F2(0,4)． 　已知曲线C1：，(t为参数)，曲线C2：＋＝1. (1)化C1为普通方程，C2为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线？ (2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：x－2y－7＝0距离的最小值． 【思路探究】　(1)参数方程与普通方程互化；(2)由中点坐标公式，用参数θ表示出点M的坐标，根据点到直线的距离公式得到关于θ的函数，转化为求函数的最值． 【自主解答】　(1)由 得 曲线C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1， C1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆． 曲线C2：＋＝1表示中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆． 其参数方程为(θ为参数) (2)依题设，当t＝时，P(－4,4)； 且Q(8cos θ，3sin θ)， 故M(－2＋4cos θ，2＋sin θ)． 又C3为直线x－2y－7＝0， M到C3的距离d＝|4cos θ－3sin θ－13| ＝|5cos(θ＋φ)－13|， 从而当cos θ＝，sin θ＝－时，(其中φ由sin φ＝，cos φ＝确定)cos(θ＋φ)＝1，d取得最小值. 1．从第(2)问可以看出椭圆的参数方程在解题中的优越性． 2．第(2)问设计十分新颖，题目的要求就是求动点M的轨迹上的点到直线C3距离的最小值，这个最小值归结为求关于参数θ的函数的最小值． 　(2013·开封质检)已知点P是椭圆＋y2＝1上任意一点，求点P到直线l：x＋2y＝0的距离的最大值． 【解】　因为P为椭圆＋y2＝1上任意一点， 故可设P(2cos θ，sin θ)，其中θ[0,2π)． 又直线l：x＋2y＝0. 因此点P到直线l的距离 d＝＝. 所以，当sin(θ＋)＝1，即θ＝时，d取得最大值. 双曲线参数方程的应用 　求证：双曲线－＝1(a0，b0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值． 【思路探究】　设出双曲线上任一点的坐标，可利用双曲线的参数方程简化运算． 【自主解答】　由双曲线－＝1，得 两条渐近线的方程是：bx＋ay＝0，bx－ay＝0， 设双曲线上任一点的坐标为(asec φ，btan φ)， 它到两渐近线的距离分别是d1和d2， 则d1·d2＝· ＝＝(定值)． 　在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec2 φ－tan2 φ＝1的应用． 　如图2－2－1，设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1、F2是两个焦点，证明：|PF1|·|PF2|＝|OP|2. 图2－2－1 【证明】　设P(sec φ，tan φ)， F1(－，0)，F2(，0)， |PF1|＝ ＝， |PF2|＝ ＝， |PF1|·|PF2|＝ ＝2sec2φ