【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.2 排序不等式课后知能检测 新人教B版选修4-5.doc

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.2 排序不等式课后知能检测 新人教B版选修4-5 一、选择题 1．设a1，a2，a3R＋，且a1，a2，a3的任一排列为a′1，a′2，a′3，则＋＋的最小值为(　　) A．3　　　 B．6 C．9 D．12 【解析】　由题意，不妨设a1≥a2≥a30，则≥≥0，＋＋≥＋＋＝3， 当且仅当a1＝a2＝a3时等号成立． 【答案】　A 2．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件及2件，现在选择商店中单价为3元，2元和1元的礼品，则至少要花多少钱(　　) A．6元 B．19元 C．25元 D．3元 【解析】　由排序原理可知： 花钱最少为：1×5＋2×4＋3×2＝19(元)． 【答案】　B 3．设a，b都是正数，P＝()2＋()2，Q＝＋，则(　　) A．P≥Q B．P≤Q C．PQ D．PQ 【解析】　由题意不妨设a≥b0，则a2≥b2，≥， ≥. 根据排序不等式，知×＋×≥×＋×，即()2＋()2≥＋， P≥Q.当且仅当a＝b时，取“＝”号． 【答案】　A 4．已知a，b，c为正实数，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是(　　) A．大于零 B．大于等于零 C．小于零 D．小于等于零 【解析】　设a≥b≥c0， 所以a3≥b3≥c3， 根据排序原理，得a3×a＋b3×b＋c3×c≥a3b＋b3c＋c3a. 又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab. a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab. 即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0. 【答案】　B 二、填空题 5．若a0，b0且a＋b＝1，则＋的最小值是________． 【解析】　不妨设a≥b0，则有a2≥b2，且≥. 由排序不等式＋≥·a2＋·b2＝a＋b＝1 当且仅当a＝b＝时，等号成立． ＋的最小值为1. 【答案】　1 6．设c1，c2，…，cn为正数a1，a2，…，an的某一排列，则＋＋…＋与n的大小关系是________． 【解析】　不妨设0a1≤a2≤…≤an，则≥≥…≥，因为c1，c2，…，cn是a1，a2，…，an的一个排列，所以，，…，是，，…，的一个排列，故由排序不等式：反序和≤乱序和，得a1·＋a2·＋…＋an·≤a1·＋a2·＋…＋an·，即＋＋…＋≥n，当且仅当a1＝a2＝…＝an0时等号成立． 【答案】　＋＋…＋≥n 三、解答题 7．已知a，b，c为正数，a≥b≥c，求证：＋＋≥＋＋. 【证明】　a≥b≥c≥0， a5≥b5≥c5， ≥≥＞0. ≥≥， ≥≥， 由顺序和≥乱序和得 ＋＋≥＋＋ ＝＋＋ ＋＋≥＋＋. 8．设a，b，c大于0，求证： (1)a3＋b3≥ab(a＋b)； (2)＋＋≤. 【证明】　(1)不妨设a≥b≥c0，则a2≥b2≥c20. a3＋b3＝a2·a＋b2·b≥a2b＋b2·a， a3＋b3≥ab(a＋b)． (2)由(1)知，同理b3＋c3≥bc(b＋c)，c3＋a3≥ac(c＋a)． 所以＋＋ ≤＋＋ ＝(＋＋)． ＝·＝. 故原不等式得证． 9．已知0αβγ，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)． 【证明】　0αβγ，且y＝sin x在(0，)为增函数，y＝cos x在(0，)为减函数， 0sin αsin βsin γ，cos αcos βcos γ0. 根据排序不等式得：乱序和反序和． sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α sin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ ＝(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)． 故原不等式得证． 教师备选 10．设a，b，c为正数，求证：＋＋≥a10＋b10＋c10. 【证明】　由对称性，不妨设a≥b≥c0， 于是a12≥b12≥c12，≥≥， 故由排序不等式：顺序和≥乱序和，得 ＋＋≥＋＋＝＋＋. 又因为a11≥b11≥c11，≤≤. 再次由排序不等式：反序和≤乱序和，得 ＋＋≤＋＋. 所以由得＋＋≥a10＋b10＋c10.