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【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 2.2.1 双曲线及其标准方程课后知能检测 新人教A版选修1-1
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 2.2.1 双曲线及其标准方程课后知能检测 新人教A版选修1-1
一、选择题
1.(2013·台州高二检测)设动点P到A(-5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6,则P点的轨迹方程是( )
A.-=1
B.-=1
C.-=1(x≤-3)
D.-=1(x≥3)
【解析】 由题意动点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支,且a=3,b=4,故应选D.
【答案】 D
2.椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则a的值是( )
A. B.1或-2
C.1或 D.1
【解析】 由于a>0,0<a2<4且4-a2=a+2,a=1.
【答案】 D
3.(2013·泰安高二检测)已知双曲线方程为-=1,点A、B在双曲线的右支上,线段AB经过右焦点F2,|AB|=m,F1为左焦点,则ABF1的周长为( )
A.2a+2m B.4a+2m
C.a+m D.2a+4m
【解析】 根据双曲线的定义:|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,而三角形的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=(|AF1|-|AF2|)+(|BF1|-|BF2|)+2|AB|=4a+2m.
【答案】 B
4.已知平面内有一线段AB,其长度为4,动点P满足|PA|-|PB|=3,O为AB中点,则|PO|的最小值是( )
A.1 B.
C.2 D.4
【解析】 ∵|PA|-|PB|=3<|AB|=4,
∴点P在以A、B为焦点的双曲线的一支上,
其中2a=3,2c=4,
∴|PO|min=a=.
【答案】 B
5.(2013·临沂高二检测)已知双曲线的两个焦点F1(-,0),F2(,0),M是此双曲线上的一点,且·=0,||·||=2,则该双曲线的方程是( )
A.-y2=1 B.x2-=1
C.-=1 D.-=1
【解析】 由双曲线定义||MF1|-|MF2||=2a,两边平方得:|MF1|2+|MF2|2-2|MF1||MF2|=4a2,因为·=0,故MF1F2为直角三角形,有|MF1|2+|MF2|2=(2c)2=40,而|MF1|·|MF2|=2,40-2×2=4a2,a2=9,b2=1,所以双曲线的方程为-y2=1.
【答案】 A
二、填空题
6.设m为常数,若点F(0,5)是双曲线-=1的一个焦点,则m=_____.
【解析】 由题意c=5,且m+9=25,m=16.
【答案】 16
7.(2013·莱芜高二检测)若方程-=1表示双曲线,则k的取值范围是________.
【解析】 方程表示双曲线需满足(5-k)(k+2)>0,解得:-2<k<5,即k的取值范围为(-2,5).
【答案】 (-2,5)
8.已知F是双曲线-=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为______.
【解析】 设右焦点为F′,由题意知F′(4,0),根据双曲线的定义,|PF|-|PF′|=4,|PF|+|PA|=4+|PF′|+|PA|,要使|PF|+|PA|最小,只需|PF′|+|PA|最小即可,即需满足P、F′、A三点共线,最小值为4+|F′A|=4+=9.
【答案】 9
三、解答题
9.求与椭圆+=1有相同焦点,并且经过点(2,-)的双曲线的标准方程.
【解】 由+=1知焦点F1(-,0),F2(,0).
依题意,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).
∴a2+b2=5,①
又点(2,-)在双曲线-=1上,
∴-=1.②
联立①②得a2=2,b2=3,
因此所求双曲线的方程为-=1.
10.(2013·杭州高二检测)已知A(-7,0),B(7,0),C(2,-12),椭圆过A、B两点且以C为其一个焦点,求椭圆另一个焦点的轨迹方程.
【解】 设椭圆的另一个焦点为P(x,y),
则由题意知|AC|+|AP|=|BC|+|BP|,
|BP|-|AP|=|AC|-|BC|
=2<|AB|=14,
所以点P的轨迹是以A、B为焦点,实轴长为2的双曲线的左支,且c=7,a=1,
b2=c2-a2=48.
所求的轨迹方程为x2-=1.
11.A、B、C是我方三个炮兵阵地,A在B的正东,相距6 km,C在B的北偏西30°方向上,相距4 km,P为敌炮阵地,某时刻A发现敌炮阵地的某种信号,由于B、C两地比A距P地远,因此4秒后,B、C才同时发现这一信号(该信号的传播速度为每秒1 km).A若炮击P地,求炮击的方位角.
【解】 以AB的中点为原点,BA所在的直线为x轴建立直角坐标系,则A(3,0),B(-3,0),C(-5,2).
|PB|-|PA|=4,点P在以A、B为焦点的双曲线的右支上,该双曲线右支的方程是
-=1(x≥2).
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