【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.2.2 反证法课后知能检测 新人教A版选修2-2.doc

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.2.2 反证法课后知能检测 新人教A版选修2-2 一、选择题 1．(2013·潍坊高二检测)实数a，b，c不全为0等价于(　　) A．a，b，c均不为0 B．a，b，c中至多有一个为0 C．a，b，c中至少有一个为0 D．a，b，c中至少有一个不为0 【解析】　“不全为0”的对立面为“全为0”，故“不全为0”的含义为“至少有一个不为0”． 【答案】　D 2．有以下结论： 已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2； 已知a，bR，|a|＋|b|1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是(　　) A．与的假设都错误 B．与的假设都正确 C．的假设正确；的假设错误 D．的假设错误；的假设正确 【解析】　用反证法证明问题时，其假设是原命题的否定，故的假设应为“p＋q2”；的假设为“两根的绝对值不都小于1”，故假设错误．假设正确． 【答案】　D 3．(2013·银川高二检测)用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤： 则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾； 所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线； 假设直线AC、BD是共面直线． 则正确的序号顺序为(　　) A．　　　　　　B． C． D． 【解析】　结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为. 【答案】　B 4．设a，b，c都是正数，则三个数a＋，b＋，c＋(　　) A．都大于2 B．至少有一个大于2 C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2 【解析】　(a＋)＋(b＋)＋(c＋)＝(a＋)＋(b＋)＋(c＋)≥2＋2＋2＝6，故三个数中至少有一个不小于2. 【答案】　D 5．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常数)，且ab，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．无穷多个 【解析】　假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得an＝bn，由题意ab，nN*，则恒有anbn，从而an＋2bn＋1恒成立，不存在n使an＝bn. 【答案】　A 二、填空题 6．(2013·扬州高二检测)用反证法证明“三角形的内角至多有一个钝角”，正确的假设是________． 【解析】　“至多有一个”的否定是“至少有2个”．故正确的假设是“三角形的内角中至少有两个钝角”． 【答案】　三角形的内角中至少有两个钝角 7．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设________． 【解析】　“x≠a且x≠b”形式的否定为“x＝a或x＝b”． 【答案】　x＝a或x＝b 8．完成反证法证题的全过程．设a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数． 证明：假设p为奇数，则a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有 奇数＝________ ＝________ ＝0. 但0≠奇数，这一矛盾说明p为偶数． 【解析】　据题目要求及解题步骤， a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数， (a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)也为奇数． 即(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)为奇数． 又a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列， a1＋a2＋…＋a7＝1＋2＋…＋7，故上式为0， 所以奇数＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7) ＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7) ＝0. 【答案】　(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7) (a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7) 三、解答题 9．已知函数f(x)在R上是增函数，a，bR. (1)求证：如果a＋b≥0，那么f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)． (2)判断(1)中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论． 【解】　(1)当a＋b≥0时，a≥－b且b≥－a， f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)， f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)． (2)(1)中命题的逆命题： 如果f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，那么a＋b≥0.此命题成立，用反证法证明如下： 假设a＋b0，则a－b，f(a)f(－b)， 同理可得f(b)f(－a)， f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)，这与f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)矛盾，故假设不成立，所以a＋b≥0成立，即(1)中命题的逆命题成立． 10．证