【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义课时训练 新人教版必修4.doc

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义课时训练 新人教版必修4 一、选择题 1．点C在线段AB上，且＝ ，则等于(　　) A. 　　　　　　　　 B. C．－ D．－ 【解析】　＝，＝－， ＝－. 【答案】　D 2．下面四个说法 对于实数m和向量a、b，恒有m(a－b)＝ma－mb； 对于实数m、n和向量a，恒有(m－n)a＝ma－na； 对于实数m和向量a、b，若ma＝mb，则a＝b； 对于实数m、n和向量a，若ma＝na，则m＝n. 其中正确的个数是(　　) A．4个　　　　　　　　　　 B．3个 C．2个 D．1个 【解析】　由向量数乘运算律知均正确，对于，若m＝0，ma＝mb成立，此时a，b任意，未必有a＝b，故错；对于，若a＝0，ma＝na成立，此时m，n任意，未必有m＝n，故错误． 【答案】　C 3．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 【解析】　＝＋＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2， 与共线，A、B、D三点共线． 【答案】　A 4．(2013·泉州高一检测)点P满足向量＝2－，则点P与AB的位置关系是(　　) A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB延长线上 C．点P在线段AB反向延长线上 D．点P在直线AB外 【解析】　＝2－，－＝－， ＝， 点P在线段AB反向延长线上，故应选C. 【答案】　C 5．在ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝(　　) A. B．－ C. D. 【解析】　由题意知＝＋， ＝＋， 且＋2＝0. ＋×2得3＝＋2. ＝＋，λ＝. 【答案】　A 二、填空题 6．已知|a|＝6，b与a的方向相反，且|b|＝3，a＝mb，则实数m＝__________. 【解析】　＝＝2， |a|＝2|b|，又a与b的方向相反， a＝－2b，m＝－2. 【答案】　－2 7．(2013·黄冈高一检测)已知点M是ABC的重心，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________. 【解析】　如图，＝，而＋＝2，故＋＝2×＝3，m＝3. 【答案】　3 8. 如图所示，O是平面内一定点，A、B、C是平面内不共线的三点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过ABC的________心． 图2－2－19 【解析】　设＝，＝，则与分别为单位向量，以它们为邻边作ADFE，则它为菱形． AF在BAC的平分线上． ＝－＝λ(＋)＝λ. 与共线． 点P的轨迹一定过ABC的内心． 【答案】　内 三、解答题 9．(2013·宁德高一检测)在ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，求(用a，b表示)． 【解】　法一　如图所示ABCD中， 连接AC交BD于O点， 则O平分AC和BD. ＝3， ＝， N为OC的中点， 又M为BC的中点， MN綊BO， ＝＝＝(b－a)． 法二　＝－＝－(＋) ＝－＝(a＋b)－a＝(b－a)． 10．(2013·绍兴高一检测)设a，b是两个不共线的非零向量，记＝a，＝tb(tR)，＝(a＋b)，那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线？ 【解】　＝a，＝tb，＝(a＋b)， ＝－＝tb－a， ＝－＝(a＋b)－a＝b－a， A、B、C三点共线，存在实数λ，使＝λ， 即tb－a＝λ(b－a)． 由于a，b不共线，解得 故当t＝时，A、B、C三点共线． 11．如图所示，点P在直线AB上，O为直线外任意一点，且＝λ＋μ(λ，μR)，求证：λ＋μ＝1. 图2－2－20 【证明】　点P在直线AB上， ∥， 设＝x， ＝－，＝－， －＝x(－)， ＝(1－x)＋x. 又＝λ＋μ， λ＝1－x，μ＝x， λ＋μ＝1. 【教师备课资源】 1．与三角形的外心、垂心、重心等有关问题的向量解法 【典例】　 如图所示，O为ABC的外心，H为垂心，求证：＝＋＋. 【思路探究】　作直径BD，连接DA、DC，根据四边形AHCD是平行四边形求解． 【证明】　作直径BD，连接DA、DC，则＝－，DAAB，AHBC，CHAB，CDBC. ∴CH∥DA，AHDC， 故四边形AHCD是平行四边形． ＝， 又＝－＝＋， ＝＋＝＋＝＋＋. 1．解决本题的关键是作出直径BD，进而得到四边形AHCD是平行四边形． 2．解决此类问题首先要明确三角形的外心、重心、垂心的含义，其次要注意利用几何图形的性质解题． 已知G为ABC内一点，若＋＋＝0，求证：G是ABC的重心． 【证明】　如图，由 ＋＋＝0 知＝－(＋)． 以，为邻边作BGCD， 则＝＋，即＝－. 而在BGCD中，BC与GD相交于E，且＝，＝， 则AE是ABC中B