【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.3 变换的复合与矩阵的乘法综合检测 苏教版选修4-2.doc

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.3 变换的复合与矩阵的乘法综合检测 苏教版选修4-2 1．计算： (1)； (2). 【解】　(1) ＝ ＝. (2)＝ ＝. 2．已知A＝，B＝，计算AB，并从变换的角度解释． 【解】　AB＝ ＝. AB所对应的变换为复合变换，即由旋转变换和切变变换连续变换得到的． 3．已知M＝，A＝，且MN＝A，求二阶矩阵N. 【解】　设N＝，则 ＝＝， 解得 N＝. 4．设E为二阶单位矩阵，试证明对于任意二阶矩阵M，ME＝EM＝M. 【证明】　设M＝，a，b，c，d均为实数，则 ME＝＝＝M， EM＝ ＝＝M. 所以等式得证． 5．已知A＝，试求A2，A3，并据此猜想An(nN*)． 【解】　因为A＝， 所以A2＝＝ ＝， A3＝ ＝， 所以据此猜想An＝. 6．根据如图所示的变换，你能将其分解为已知的一些变换吗？ 【解】　(1)先施以矩阵对应的关于原点的中心反射变换，再往以矩阵对应的伸压变换得到． (2)先施以矩阵对应的伸压变换，再施以矩阵对应的伸压变换得到． 7．已知矩阵A＝，B＝. (1)计算AB，BA； (2)设M＝AB，N＝BA，若矩阵M，N分别把直线l：x＋y＋2＝0变为直线l1，l2，求直线l1，l2的方程． 【解】　(1)AB＝ ＝ ＝， BA＝ ＝ ＝. (2)任取直线l上一点P(x，y)经矩阵M变换后为点P′(x′，y′)， 则＝＝， ，即， 把上式代入x＋y＋2＝0得： x′＋y′＋x′＋y′＋2＝0， 即x′＋y′＋2＝0， 直线l1的方程为x＋y＋2＝0， 同理可求l2的方程为3x＋7y＋10＝0. 8．在直角坐标系中，已知ABC的顶点坐标分别为A(0,0)，B(1,1)，C(0,2)，求ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积，这里矩阵M＝，N＝. 【解】　由题设得MN＝＝. 由＝，＝， ＝， 可知A，B，C三点在矩阵MN作用下变换所得到的点分别是A′(0,0)，B′(1，－1)，C′(0，－2)．计算得A′B′C′的面积为1. 所以ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积为1. 9．已知矩阵M＝，N＝， 且MN＝. (1)求实数a，b，c，d的值； (2)求直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的象． 【解】　由题设得，解得：. (2)设直线y＝3x上的任意点(x，y)，在矩阵M所对应的线性变换作用下的象是点(x′，y′)， 由＝＝＝得y′＝－x′，即点(x′，y′)必在直线y＝－x上．由(x，y)的任意性可知，直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的象的方程为y＝－x. 10．假设我们收集到苹果和香蕉在两个不同商店的价格，每个男性与女性分别对这两种水果的日需求量以及两个不同公司中男性与女性人员数量，并用矩阵表示如下： 　　　　价格　　　　　　日需求量 A＝，B＝， 　　　人员数量 C＝. 利用A，B，C，按下列要求求出矩阵乘积： (1)计算乘积BA，并说明该乘积矩阵表示的是什么量表； (2)哪两个矩阵的乘积可以表示两个不同公司对两种不同水果的日需求量？并计算出这个量表． 【解】　(1)BA＝ ＝. 由于7.1＝1×1.5＋2×2.8，表示男性每日在A店买苹果和香蕉共需消费7.1元；10.1＝3×1.5＋2×2.8，表示女性每日在A店买苹果和香蕉共需消费10.1元．故BA表示男、女在A，B两店每日需消费的金额，用量表表示如下： (2)C与B的乘积可以表示两个不同公司对两种不同水果的日需求量： CB＝ ＝， 故量表为