【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.3 变换的复合与矩阵的乘法教案 苏教版选修4-2.doc

2.3　变换的复合与矩阵的乘法 2．3.1矩阵乘法的概念 2．3.2矩阵乘法的简单性质 课标解读 1.熟练掌握两个矩阵的乘法法则，并能从变换的角度理解它们． 2．会从几何变换的角度求MN的乘积矩阵． 3．通过具体的几何图形变换，理解矩阵乘法不满足交换律. 1．矩阵的乘法 一般地，对于矩阵M＝，N＝，规定乘法法则如下： MN＝ ＝. 2．矩阵乘法的几何意义 (1)变换的复合：在数学中，一一对应的平面几何变换常可以看做是伸压、反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变等变换通常叫做初等变换；对应的矩阵叫做初等变换矩阵． (2)矩阵乘法的几何意义： 矩阵乘法MN的几何意义为：对向量α＝连续实施的两次几何变换(先TN后TM)的复合变换． (3)当连续对向量实施(n＞1且nN*)次变换TM时，对应地我们记Mn＝M·M·…·M. 3．矩阵乘法的运算性质 (1)矩阵乘法不满足交换律 对于二阶矩阵A、B来说，尽管AB、BA均有意义，但可能AB≠BA. (2)矩阵乘法满足结合律 设M、N、P均为二阶矩阵， 则一定有(MN)P＝M(NP)． (3)矩阵乘法不满足消去律 设A、B、C为二阶矩阵，当AB＝AC时，可能B≠C. 1．矩阵的乘法与实数的乘法有什么异同？ 【提示】　(1)运算条件不同，任何两个实数均可作乘法，而两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相同时，才能作乘法． (2)从运算律上看，实数的乘法满足交换律、结合律及消去律，而矩阵的乘法只满足结合律． 2．矩阵的乘法与变换的复合有什么关系？简单变换与复合变换有什么关系？ 【提示】　矩阵的乘法对应着变换的复合，这样使得若干个简单变换可以复合成较为复杂的变换；反过来较为复杂的变换可以分解成若干个简单的变换． 3．矩阵乘法MN与NM的几何意义一致吗？为什么？ 【提示】　不一致；因为前一个对应着先TN后TM的两次几何变换，而后者对应着先TM后TN的两次几何变换. 矩阵的乘法运算 　(1)已知A＝，B＝，计算AB. (2)已知A＝，B＝，计算AB，BA. (3)已知A＝，B＝，计算A2、B2. 【思路探究】　利用矩阵乘法法则计算，根据矩阵乘法的几何意义说明． 【自主解答】　(1)AB＝ ＝ ＝. (2)AB＝ ＝ ＝， BA＝ ＝ ＝.(3)A2＝＝， B2＝＝. 这些计算只需利用矩阵的乘法公式即可，但对揭示矩阵乘法的性质却有着重要的意义．(1)中尽管A、B均为非零矩阵，但它们的乘积却是零矩阵；(2)中AB≠BA；(3)中尽管B≠C，但有AB＝AC，这与一般数乘有着本质的区别；(4)中A2＝A，B2＝0，这里0是一个二阶零矩阵． 证明下列等式并从几何变换的角度给予解释． ＝ 【解】　左＝ ＝， 右＝＝， 左＝右． 对应的变换将平面上的点垂直投影到x轴，而x轴上的点沿x轴的切变变换是不动点.，均为沿x轴的切变变换，自然有等式成立. 矩阵乘法的简单性质 　已知正方形ABCD，点A(1,0)、B(1,1)、C(0,1)、D(0,0)，变换T1所对应的矩阵M＝，变换T2所对应的矩阵N＝，计算MN、NM，比较它们是否相同，并从几何变换的角度予以解释． 【思路探究】　利用具体的几何变换验证． 【自主解答】　MN＝＝， NM＝ ＝. 故MN≠NM. 从几何变换的角度来看，矩阵M表示T1为向x轴压缩为一半的变换，矩阵N表示T2为逆时针旋转90°的变换． 这样MN表示矩阵ABCD先经T2，再经T1的变换，变换结果如图所示： 而NM表示矩形ABCD先经T1，再经T2的变换，变换结果如图． (2) 从图(1)以及图(2)可知，MN和NM表示的不是同一个变换． 一个旋转变换与一个伸压变换的乘积一般不满足交换律．但两个旋转变换、两个反射变换满足交换律． 算式＝表示AB＝AC，但A≠0且有B≠C，请通过计算验证这个结果，并从几何上给予解释． 【解】　左边＝＝ 右边＝＝. 左边＝右边． 表示先将平面上的点横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，再往x轴上投影． 表示先将平面上的点横坐标不变，纵坐标缩短为原来的，再往x轴上投影. 变换的复合问题 　已知圆C：x2＋y2＝1，先将圆C作关于矩阵P＝的伸压变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°，求所得曲线的方程． 【思路探究】　先求出旋转90°的矩阵Q，进而求QP，再求曲线方程． 【自主解答】　绕原点逆时针旋转90°的变换矩阵Q＝， 则M＝QP ＝＝.4分 设A(x0，y0)为圆C上的任意一点，在TM变换下变为另一点A′(x′0，y′0)， 则＝， 即所以 又因为点A(x0，y0)在曲线x2＋y2＝1上， 所以(y′0)2＋2＝1. 故所得曲线的方程为＋y2＝1. 矩阵的乘法对应着变换的复合，而两个变换的复合仍是一个变换，且两个变换的复合过程是有序的