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【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 2.3 圆的切线的性质及判定定理教案 新人教A版选修4-1
三圆的切线的性质及判定定理
课标解读 1.掌握切线的性质定理及其推论,并能解决有关问题.
2.掌握切线的判定定理,会判定直线与圆相切.
1.切线的性质定理及推论
图2-3-1
(1)性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径.
如图2-3-1,已知AB切O于点A,则OAAB.
(2)推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.
(3)推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
2.切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
1.“以圆的两条平行切线的切点为端点的线段是圆的直径”这句话对吗?为什么?
【提示】 正确.如图AB、CD分别切O于E、F,连接EO并延长交CD于F′,AB是O的切线,OE⊥AB.∵AB∥CD,OF′⊥CD,F′为切点,F′与F重合,即EF是O的直径.
2.判定直线与圆相切共有哪几种方法?
【提示】 判定直线与圆相切共有三种方法:
(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线;
(2)到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线;
(3)过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线.
3.从圆的切线的性质定理及推论,你能得出怎样的结论?
【提示】 分析圆的切线的性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可以得出如下结论:如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可以推出第三个.垂直于切线;过切点;过圆心.于是在利用切线性质时,通常作的辅助线是过切点的半径.
圆的切线性质的应用
图2-3-2
如图2-3-2所示,已知AB是O的直径,直线CD与O相切于点C,AC平分DAB,ADCD.
(1)求证:OCAD;
(2)若AD=2,AC=,求AB的长.
【思路探究】 (1)要证OCAD,只需证明OCCD.
(2)利用ADC∽△ACB可求得.
【自主解答】 (1)如图所示,连接BC.
CD为O的切线,
OC⊥CD.
又ADCD,
OC∥AD.
(2)∵AC平分DAB,
DAC=CAB.
∵AB为O的直径,ACB=90°.
又ADCD,ADC=90°,
ADC∽△ACB.
∴=,AC2=AD·AB.
AD=2,AC=,AB=.
1.利用圆的切线的性质来证明或进行有关运算时,常用连接圆心与切点的半径与切线垂直这一理论产生垂直关系.
2.常作的辅助线:
(1)连接切点与圆心的半径.
(2)构造直径所对的圆周角.
如图2-3-3,在ABC中,AB=AC,以AB为直径的O交BC于D,过D作O的切线交AC于E.求证:DEAC.
图2-3-3
【证明】 如图,连接OD、AD.
AB为O直径,AD⊥BC.
∵AB=AC,即ABC为等腰三角形,
AD为BC边上的中线,
即BD=DC.又OA=OB,
OD为ABC的中位线.
OD∥AC.
∵DE切O于D,OD⊥DE.
∴DE⊥AC.
圆的切线的判定 如图2-3-4,AB是O的直径,AE平分BAF交O于点E,过E作直线与AF垂直,交AF的延长线于点D,且交AB的延长线于点C.求证:CD是O的切线.
图2-3-4
【思路探究】 利用圆的切线的判定定理进行切线的证明,关键是找出定理的两个条件:过半径的外端;该直线与某一条半径所在的直线垂直.
【自主解答】 如图,连接OE.
OA=OE,1=2.
又AE平分BAF,
2=3.
∴∠1=3,OE∥AD.
∵AD⊥CD,OE⊥CD.
∴CD与O相切于点E.
1.解答本题的关键是证明OECD,而已知ADCD,故只需证明OEAD.
2.判断一条直线是圆的切线时,常用辅助线的作法
(1)如果已知这条直线与圆有公共点,则连接圆心与这个公共点,设法证明连接所得到的半径与这条直线垂直,简记为“连半径,证垂直”;
(2)若题目未说明这条直线与圆有公共点,则过圆心作这条直线的垂线,得垂线段,再证明这条垂线段的长等于半径,简记“作垂直,证半径”.
图2-3-5
(2013·洛阳模拟)如图2-3-5,直角梯形ABCD中,A=B=90°,ADBC,E为AB上的点,DE平分ADC,CE平分BCD,以AB为直径的圆与CD有怎样的位置关系?【解】 如题图,过E作EFCD于F,
DE平分ADC,CE平分BCD,
A=B=90°,
AE=EF=BE=AB.
以AB为直径的圆的圆心为E,
EF是圆心E到CD的距离,且EF=AB,
以AB为直径的圆与边CD是相切关系.
圆的切线性质和判定定理的综 合应用
如图2-3-6,AB为O的直径,D是的中点,DEAC交AC的延长线于E,O的切线BF交AD的延长线于点F.
图2-3-6
(1)求证:DE是O的切线;
(2)若DE=3,O的半径为5,求BF的长.
【思路探究】 (1)利用圆的切线判定定理证明.
(2)作DGAB于G,利用ADG∽△AFB求解.
【自主解答】 (1)连接OD,D是中点.
1=
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