【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.3.2 抛物线的几何性质课后知能检测 新人教B版选修1-1.doc

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.3.2 抛物线的几何性质课后知能检测 新人教B版选修1-1 一、选择题 1．(2013·泰安高二检测)已知抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，焦点为F，过F且垂直于x轴的直线交抛物线于A，B两点，且|AB|＝8，则抛物线的标准方程为(　　) A．y2＝8x　　　 B．y2＝－8x C．y2＝±8x D．x2＝±8y 【解析】　由抛物线的定义知，|AB|＝|AF|＋|BF|＝2p＝8，p＝4，故标准方程为y2＝±8x. 【答案】　C 2．抛物线y＝ax2＋1与直线y＝x相切，则a等于(　　) A. B. C. D．1 【解析】　由消y得ax2－x＋1＝0. ∵直线y＝x与抛物线y＝ax2＋1相切， ∴方程ax2－x＋1＝0有两相等实根． ∴判别式Δ＝(－1)2－4a＝0，∴a＝. 【答案】　B 3．(2013·长沙高二检测)过点M(2,4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线共有条数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】　由于M(2,4)在抛物线上，故满足条件的直线共有2条，一条是与x轴平行的线，另一条是过M的切线，如果点M不在抛物线上，则有3条直线． 【答案】　B 4．探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，灯口直径为60 cm，灯深40 cm，则光源到反射镜顶点的距离是(　　) A．11.25 cm B．5.625 cm C．20 cm D．10 cm 【解析】　如图建立直角坐标系，则A(40,30)，设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，将点(40,30)代入得p＝，所以＝5.625即光源到顶点的距离． 【答案】　B 5．若点P在y2＝x上，点Q在(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值为(　　) A.－1 B.－1 C．2 D.－1 【解析】　设圆(x－3)2＋y2＝1的圆心为Q′(3,0)，要求|PQ|的最小值，只需求|PQ′|的最小值． 设P点坐标为(y，y0)，则|PQ′|＝ ＝＝. |PQ′|的最小值为， 从而|PQ|的最小值为－1. 【答案】　D 二、填空题 6．(2013·台州高二检测)设抛物线y2＝16x上一点P到对称轴的距离为12，则点P与焦点F的距离|PF|＝________. 【解析】　设P(x,12)，代入到y2＝16x得x＝9， |PF|＝x＋＝9＋4＝13. 【答案】　13 7．设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A(0,2)，若线段FA的中点B在抛物线上，则点B到该抛物线准线的距离为________． 【解析】　由已知得点B的纵坐标为1，横坐标为，即B(，1)将其代入y2＝2px得p＝，则点B到准线的距离为＋＝p＝. 【答案】　 8．连接抛物线x2＝4y的焦点F与点M(1,0)所得的线段与抛物线交于点A，设点O为坐标原点，则三角形OAM的面积为________． 【解析】　由题意得F的坐标为(0,1)． 又M(1,0)， 故线段MF的方程为 x＋y＝1(0≤x≤1)． 解， 得交点A的坐标为(2－2,3－2)． 所以SOAM＝×1×(3－2)＝－. 【答案】　－ 三、解答题 9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程． 【解】　设所求抛物线的标准方程为 x2＝2py(p＞0)，A(x0，y0)，由题知 M(0，－)． |AF|＝3，y0＋＝3， |AM|＝， x＋(y0＋)2＝17， x＝8，代入方程x＝2py0得， 8＝2p(3－)，解得p＝2或p＝4. 所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y. 10．已知A，B两点在抛物线C：x2＝4y上，点M(0,4)满足＝λ(λ≠0)，求证：. 【证明】　设A(x1，y1)，B(x2，y2)． ＝λ，M，A，B三点共线，即直线AB过点M. 设lABy＝kx＋4(易知斜率存在)，与x2＝4y联立得， x2－4kx－16＝0， Δ＝(－4k)2－4×(－16) ＝16k2＋64＞0， 由根与系数的关系得x1＋x2＝4k，x1x2＝－16， ·＝x1x2＋y1y2 ＝x1x2＋(kx1＋4)(kx2＋4) ＝(1＋k2)x1x2＋4k(x1＋x2)＋16 ＝(1＋k2)·(－16)＋4k·(4k)＋16＝0， ⊥. 11．(2013·泰州高二检测)已知抛物线x2＝ay(a＞0)，点O为坐标原点，斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点． (1)若直线l过点D(0,2)且a＝4，求AOB的面积； (2)若直线l过抛物线的焦点且·＝－3，求抛物线的方程． 【解】　(1)依题意，直线l的方程为y＝x＋2，抛物线方程x2＝4y， 由消去y，得x2－4x－8＝0. 则