【全效学习】2016版中考数学_专题提升十一_以平行四边形为背景的计算与证明复习课件.ppt

* 专题提升(十一) 以平行四边形为背景的计算与证明 类型之一　以平行四边形为背景的计算与证明 【教材原型】 已知：如图Z11－1，在?ABCD中，AC是 对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别 为点E，F.求证：BE＝DF.(浙教版八下 P83作业题第5题) 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DCF. 又∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴∠AEB＝∠CFD， ∵AB＝CD， 图Z11－1 ∴Rt△AEB≌Rt△CFD， ∴BE＝DF. 【思想方法】　(1)平行四边形是一种特殊的四边形，它具有对边平行且相等，对角线互相平分的性质，根据平行四边形的性质可以解决一些有关的计算或证明；(2)平行四边形的判定有四种方法：两组对边平行；两组对边分别相等；一组对边分别平行且相等；对角线互相平分． 【中考变形】 [2015·扬州]如图Z11－2，将?ABCD沿 过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上 的点D′处，折痕l交CD边于点E，连结 BE. (1)求证：四边形BCED′是平行四边形； (2)若BE平分∠ABC，求证：AB2＝AE2＋BE2. 【解析】　(1)利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE＝∠EAD′＝∠DEA＝∠D′EA，进而利用平行四边形的判定方法得出四边形DAD′E是平行四边形，进而求出四边形BCED′是平行四边形； (2)利用平行线的性质结合勾股定理得出答案． 图Z11－2 证明：(1)∵将平行四边形ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处， ∴∠DAE＝∠D′AE，∠DEA＝∠D′EA，∠D＝∠AD′E， ∵DE∥AD′， ∴∠DEA＝∠EAD′， ∴∠DAE＝∠EAD′＝∠DEA＝∠D′EA， ∴∠DAD′＝∠DED′， ∴四边形DAD′E是平行四边形， ∴DE＝AD′， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形BCED′是平行四边形； (2)∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE＝∠EBA， ∵AD∥BC， ∴∠DAB＋∠CBA＝180°， ∵∠DAE＝∠BAE， ∴∠EAB＋∠EBA＝90°， ∴∠AEB＝90°， ∴AB2＝AE2＋BE2. 【中考预测】 如图Z11－3，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE＝CF.求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD. ∵AE⊥AD，CF⊥BC， ∴∠EAD＝∠FCB＝90°. 又∵AE＝CF， ∴△EAD≌△FCB(AAS)，∴AD＝CB. 又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形． 图Z11－3 类型之二　以矩形、菱形或正方形为背景的计算与证明 【教材原型】 如图Z11－4，在菱形ABCD中，E，F分别 是BC，CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD. 求菱形各个内角的度数．(浙教版八下 P120作业题第4题) 解：连结AC. ∵四边形ABCD是菱形，AE⊥BC， AF⊥CD且点E，F分别为BC，CD的中点， ∴AC＝AB＝AD＝BC＝CD， ∴三角形ABC，三角形ACD均为等边三角形， 图Z11－4 教材原型答图 ∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝∠ACD＝∠ADC＝∠CAD＝60°， ∴菱形ABCD的四个内角度数分别为∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝∠BCD＝120°. 【思想方法】　要掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定方法，采用类比法，比较它们的区别和联系．对于矩形的性质，重点从“四对”入手，即从对边、对角、对角线及对称轴入手；判定菱形可以从一般四边形入手，也可以从平行四边形入手；正方形既具有矩形的性质又具有菱形的性质． 【中考变形】 1．如图Z11－5，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连结OH，求证：∠DHO＝∠DCO. 证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB，∠COD＝90°. ∵DH⊥AB于H， ∴∠DHB＝90°， ∴OH＝OB＝OD， ∴∠OHB＝∠OBH，∠DHO＝∠HDO， ∵AB∥CD，∴∠OBH＝∠ODC， 在Rt△COD中，∠ODC＋∠OCD＝90°， 在Rt△DHB中，∠HDB＋∠HBO＝90°， ∴∠HDO＝∠DCO，∠DHO＝∠DCO. 图Z11－5 2．如图Z11－6，在△ABC中，AD是BC边 上的中线，E是AD的中点，过点A作BC 的平行线交BE的延长线于点F，连结 CF. (1)求证：AF＝DC； (2)若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论． 证明：(1)∵E是AD的中点， ∴