【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.4 向量的数量积课后知能检测1 苏教版必修4.doc

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.4 向量的数量积课后知能检测1 苏教版必修4 一、填空题 1．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n＝________. 【解析】　m·n＝|m||n|cos 135°＝4×6×(－)＝－12. 【答案】　－12 2．(2013·安徽高考)若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________． 【解析】　由|a|＝|a＋2b|，两边平方，得|a|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，所以a·b＝－|b|2.又|a|＝3|b|，所以cos〈a，b〉＝＝＝－. 【答案】　－ 3．设a与b的模分别为4和3，夹角为60°，则|a＋b|＝________. 【解析】　|a＋b|＝＝ ＝＝. 【答案】　 4．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且ab，|a|＝1，|b|＝2，则|c|2＝________. 【解析】　a＋b＋c＝0，c＝－(a＋b)． 又a⊥b，a·b＝0. |c|2＝c2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝5. 【答案】　5 5．(2013·江西高考)设e1，e2为单位向量， 且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e3，b＝2e1，则向量a在b方向上的射影为________． 【解析】　由于a＝e1＋3e2，b＝2e1， 所以|b|＝2，a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2e＋6e1·e2＝2＋6×＝5， 所以a在b方向上的射影为|a|·cosa，b＝＝. 【答案】　 6．在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝________. 【解析】　选，为基底，则＝－＋， ＝－＋， ·＝(－＋)·(－＋)＝－. 【答案】　－ 7．已知非零向量a，b，若(a＋2b)(a－2b)，则＝________. 【解析】　(a＋2b)(a－2b)，(a＋2b)·(a－2b)＝0， a2＝4b2，|a|＝2|b|，＝2. 【答案】　2 8．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝________. 【解析】　由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos ，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5. 【答案】　－8或5 二、解答题 9．(2013·长春高一检测)已知向量a与b满足|a|＝4，|b|＝2，且|a＋b|＝2. (1)求|3a－4b|；(2)(a－2b)·(a＋b)． 【解】　|a＋b|＝2， (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝42＋2a·b＋22＝(2)2， a·b＝－4. (1)|3a－4b|2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×42－24× (－4)＋16×22＝16×19， |3a－4b|＝4. (2)(a－2b)·(a＋b)＝a2－a·b－2b2 ＝42－(－4)－2×22＝12. 10．已知|a|＝5，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则当k为何值时，向量ka－b与a＋2b垂直？ 【解】　(ka－b)(a＋2b)， (ka－b)·(a＋2b)＝0，ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，k×52＋(2k－1)×5×4×cos 60°－2×42＝0， k＝，即k＝时，向量ka－b与向量a＋2b垂直． 11．已知|a|＝，|b|＝3，a和b的夹角为45°，求当向量a＋λb与a＋b的夹角为锐角时λ的取值范围． 【解】　因为向量a＋λb与a＋b的夹角为锐角，所以(a＋λb)·(a＋b)＝a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝12λ＋5＞0. 由此解得λ＞－.若向量a＋λb与a＋b同向，则存在惟一的正数k，使得a＋λb＝k(a＋b)成立，有k＝λ＝1. 要保证向量a＋λb与a＋b不同向，则必须λ≠1. 综上所述，当λ＞－且λ≠1时，向量a＋λb与a＋b的夹角为锐角．