【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.4 弦切角的性质教案 新人教A版选修4-1.doc

四弦切角的性质 课标解读 1.掌握弦切角定理，并能利用它解决有关问题． 2.体会分类思想，运动变化思想和化归思想. 1．弦切角 顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角． 2．弦切角定理 (1)文字语言叙述： 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． (2)图形语言叙述： 如图2－4－1，AB与O切于A点，则BAC＝D. 图2－4－1 1．怎样正确理解弦切角的定义？ 【提示】　弦切角的特点：(1)顶点在圆上；(2)一边与圆相交；(3)一边与圆相切． 弦切角定义中的三个条件缺一不可．如图(1)(2)(3)(4)中的角都不是弦切角．图(1)中，缺少“顶点在圆上”的条件；图(2)中，缺少“一边和圆相交”的条件；图(3)中，缺少“一边和圆相切”的条件；图(4)中，缺少“顶点在圆上”和“一边和圆相切”两个条件． 2．弦切角、圆周角、圆心角与它们所对应的弧有什么关系？ 【提示】　弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，圆心角的度数等于它所对弧的度数． 3．运用弦切角定理解题时，一般怎样添加辅助线？ 【提示】　添加辅助线构成弦切角所夹的弧对应合适的圆周角，为解题提供条件． 利用弦切角定理解决与角有关 的问题 　 图2－4－2 如图2－4－2，AB是半圆O的直径，C是圆周上一点(异于A、B)，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD，垂足为D，AD交半圆于点E，求证：CB＝CE. 【思路探究】　解答本题的关键是运用弦切角定理与圆周角定理的有关知识，进行角度的等量替换． 【自主解答】　 连接AC，BE，在DC延长线上取一点F，因为AB是半圆O的直径，C为圆周上一点， 所以ACB＝90°，即BCF＋ACD＝90° 又因为ADl，所以DAC＋ACD＝90° 所以BCF＝DAC 又因为直线l是圆O的切线，所以CEB＝BCF， 又DAC＝CBE，所以CBE＝CEB，CB＝CE. 1．把证明线段相等转化为证明角的相等是弦切角定理应用的常见题目． 2．利用弦切角定理进行计算、证明，要特别注意弦切角所夹弧所对的圆周角，有时与圆的直径所对的圆周角结合运用，同时要注意根据题目的需要可添加辅助线构成所需要的弦切角． 　如图2－4－3，AB是O的直径，CD是O的切线，C为切点，AC平分BAD.求证：ADCD. 图2－4－3 【证明】　如图，连接BC. CD为O的切线， ACD＝ABC. 又AC为BAD的平分线， 故BAC＝CAD， ACD∽△ABC. ∴∠ADC＝ACB. 又AB为O的直径，ACB＝90°. ADC＝90°，即ADCD. 利用弦切角定理证明比例式或 乘积式 　如图2－4－4，PA、PB是O的切线，点C在上，CDAB，CEPA，CFPB，垂足分别为D、E、F，求证：CD2＝CE·CF. 图2－4－4 【思路探究】　 连接CA、CB，CAP＝ CBA、CBP＝CAB→ Rt△CAE∽Rt△CBD Rt△CBF∽Rt△CAD→＝→结论 【自主解答】　连接CA、CB. PA、PB是O的切线． CAP＝CBA，CBP＝CAB. 又CDAB，CEPA，CFPB， Rt△CAE∽Rt△CBD， RtCBF∽Rt△CAD， ＝，＝， ＝，即CD2＝CE·CF. 1．解答本题的难点在于乘积式中的线段不在两个相似三角形中，需用中间量过渡． 2．弦切角定理经常作为工具，进行三角形相似的证明，然后利用三角形相似进一步确定相应边之间的关系，在圆中证明比例式或等积式，常常需要借助于三角形相似处理． 3．弦切角定理有时还与圆周角定理等知识综合运用，它们不但在证明方法上相似，在解题功能上也有相似之处，通常都作为辅助工具出现． 　 图2－4－9 如图2－4－5，已知圆上的弧＝，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明： (1)ACE＝BCD； (2)BC2＝BE·CD. 【证明】　(1)＝， BCD＝ABC. 又EC与圆相切于点C， ACE＝ABC.∴∠ACE＝BCD. (2)∵∠ECB＝CDB，EBC＝BCD， BDC∽△ECB，＝， 即BC2＝BE·CD. (教材第34页习题2.4第2题)如图2－4－6，O和O′都经过A、B两点，AC是O′的切线，交O于点C，AD是O的切线，交O′于点D，求证：AB2＝BC·BD. 图2－4－6 (2013·课标全国卷) 图2－4－7 如图2－4－7，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D. (1)证明：DB＝DC； (2)设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求BCF外接圆的半径． 【命题意图】　考查圆的几何性质、勾股定理及直角三角形的性质．结合图形和圆的几何性质求解，考查了数形结合能力和逻辑推理能力