【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.4 最大值与最小值问题，优化的数学模型课后知能检测 新人教B版选修4-5.doc

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.4 最大值与最小值问题，优化的数学模型课后知能检测 新人教B版选修4-5 一、选择题 1．若x、y是正数，则(x＋)2＋(y＋)2的最小值是(　　) A．3　　　　　　　　　　B. C．4 D. 【解析】　由题意知： (x＋)2＋(y＋)2≥2(x＋)(y＋)＝2(xy＋＋1)≥2(2＋1)＝4， 等号成立的条件是不矛盾，故“＝”能成立． 【答案】　C 2．设abc0，则2a2＋＋－10ac＋25c2的最小值是(　　) A．2　　　　B．4 C．2　　　D．5 【解析】　原式＝a(a－b)＋ab＋a2＋＋－10ac＋25c2 ＝a(a－b)＋＋ab＋＋(a－5c)2 ≥2＋2＋0＝4. 当且仅当a(a－b)＝1，ab＝1，a－5c＝0时取等号，即当a＝，b＝，c＝时等号成立． 【答案】　B 3．若x，y，z是非负实数，且9x2＋12y2＋5z2＝9，则函数u＝3x＋6y＋5z的最大值为(　　) A．9　　　　B．10 C．14　　　D．15 【解析】　u2＝(3x＋6y＋5z)2≤[(3x)2＋(2y)2＋(z)2]·[12＋()2＋()2]＝9×9＝81，当且仅当x＝，y＝，z＝1时等号成立．u≤9. 【答案】　A 4．设实数x1，x2，…，xn的算术平均值是，a≠(aR)，并记p＝(x1－)2＋…＋(xn－)2，q＝(x1－a)2＋…＋(xn－a)2，则p与q的大小关系是(　　) A．pq B．pq C．p＝q D．不确定 【解析】　设函数f(x)＝(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2， 则f(x)＝nx2－2(x1＋x2＋…＋xn)x＋(x＋x＋…＋x)． 当x＝＝时f(x)取最小值，故pq. 【答案】　B 二、填空题 5．函数y＝(x－1)的最小值为________． 【解析】　y＝＝(x＋1)＋＋5≥2＋5＝9.当且仅当x＋1＝2， x＝1时取等号． 【答案】　9 6．已知a0，b0，c0，且a＋b＋c＝1，对于不等式： abc≤；≥27；ab＋bc＋ca≤. 其中正确的不等式的序号是________． 【解析】　a，b，c(0，＋∞)， 1＝a＋b＋c≥3， 0abc≤()3＝，≥27. 当且仅当a＝b＝c＝时等号成立． 从而正确，也正确． 又2＝2(a＋b＋c)2＝(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)＋4ab＋4bc＋4ca≥2ab＋2bc＋2ca＋4ab＋4bc＋4ca＝6(ab＋bc＋ca)． 0ab＋bc＋ca≤＝，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．正确． 【答案】　 三、解答题 7．(1)求函数y＝的最小值； (2)求函数y＝cos2x(1＋sin x)的最大值； (3)设x1，求函数y＝log2x＋logx4的最小值． 【解】　(1)设l＝，则l≥2，于是 y＝＝l＋， y′＝1－＝， 当l[2，＋∞)时，y′0即在[2，＋∞)上函数单调递增， 在l＝2，即x＝0时，y取得最小值，最小值为y＝2＋＝. (2)y＝(1－sin2x)(1＋sin x) ＝(1－sin x)(1＋sin x)(1＋sin x) ＝4(1－sin x)·· ≤4()3＝4×＝， 等号成立1－sin x＝sin x＝，方程sin x＝有解，于是函数y＝cos2x(1＋sin x)有最大值. (3)当x1时，log2x0，logx40，于是 y＝log2x＋logx4＝log2x＋≥2， 等号成立log2x＝log2x＝(log2x＝－舍去)x＝2，于是ymin＝2. 8．某单位要建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为每平方米1 200元，房屋侧面的造价为每平方米800元，屋顶的总造价为5 800元，如果墙高3米，且不计房屋背面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低，最低总造价是多少？ 【解】　设房屋正面长为x米，则侧面长为米．于是总造价W＝3(1 200x＋2×800×)＋5 800 ＝3 600·(x＋)＋5 800 ≥3 600×2＋5 800 ＝34 600(元)， 等号成立x＝x＝4. 答：房屋正面长为4米，侧面长为3米时，房屋有最低总造价为34 600元． 9．某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x(万件)与年促销费用m(万元)(m≥0)满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)． (1)将2013年该产品的利润y(万元)表示为年促销费用