【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义课时训练 新人教版必修4.doc

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义课时训练 新人教版必修4 一、选择题 1．|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b且ca，则a与b的夹角为(　　) A．30°　　　　　　　　B．60° C．120° D．150° 【解析】　ca，设a与b的夹角为θ，则(a＋b)·a＝0，所以a2＋a·b＝0，所以a2＋|a||b|cos θ＝0， 则1＋2cos θ＝0，所以cos θ＝－，所以θ＝120°.故选C. 【答案】　C 2．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为(　　) A．2　　　　B．4 C．6　　　　D．12 【解析】　(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2 ＝|a|2－|a|·|b|cos 60°－6|b|2 ＝|a|2－2|a|－96＝－72， |a|2－2|a|－24＝0， |a|＝6. 【答案】　C 3．若m·n≤0，则m与n的夹角θ的取值范围是(　　) A．[0，) B．[，π) C．[，π] D．[0，] 【解析】　m·n≤0，|m|·|n|cos θ≤0，cos θ≤0，≤θ≤π. 【答案】　C 4．ABC中，·＜0，则ABC是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【解析】　·＝||||cos A＜0， cos A＜0.A是钝角．ABC是钝角三角形． 【答案】　C 5． A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心 【答案】　B 二、填空题 6．已知|a|＝8，e为单位向量，a与e的夹角为150°，则a在e方向上的投影为________． 【解析】　a在e方向上的投影为|a|cos 150°＝8×(－)＝－4. 【答案】　－4 7．已知ab，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于________． 【解析】　(3a＋2b)(λa－b) (λa－b)·(3a＋2b)＝0， 3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝0. 又|a|＝2，|b|＝3，ab， 12λ＋(2λ－3)×2×3×cos 90°－18＝0， 12λ－18＝0， λ＝. 【答案】　 8．已知|a|＝|b|＝|c|＝1，且满足3a＋mb＋7c＝0，其中a与b的夹角为60°，则实数m＝________. 【解析】　3a＋mb＋7c＝0，3a＋mb＝－7c， (3a＋mb)2＝(－7c)2， 化简得9＋m2＋6ma·b＝49. 又a·b＝|a||b|cos 60°＝，m2＋3m－40＝0， 解得m＝5或m＝－8. 【答案】　5或－8 三、解答题 9．已知|a|＝3，|b|＝6，当a∥b，a⊥b，a与b的夹角是60°时，分别求a·b. 【解】　当ab时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°，a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18； 若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°， a·b＝|a||b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18. 当ab时，它们的夹角θ＝90°， a·b＝0. 当a与b的夹角是60°时， 有a·b＝|a||b|cos 60°＝3×6×＝9. 10．已知向量a、b的长度|a|＝4，|b|＝2. (1)若a、b的夹角为120°，求|3a－4b|； (2)若|a＋b|＝2，求a与b的夹角θ. 【解】　(1)a·b＝|a||b|cos 120° ＝4×2×(－)＝－4. 又|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2 ＝9×42－24×(－4)＋16×22＝304， |3a－4b|＝4. (2)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2 ＝42＋2a·b＋22＝(2)2， a·b＝－4，cos θ＝＝＝－. 又 θ[0，π]，θ＝. 11．已知ab，且|a|＝2，|b|＝1，若有两个不同时为零的实数k，t，使得a＋(t－3)b与－ka＋tb垂直，试求k的最小值． 【解】　a⊥b，a·b＝0， 又由已知得[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0， －ka2＋t(t－3)b2＝0. |a|＝2，|b|＝1，－4k＋t(t－3)＝0. k＝(t2－3t)＝(t－)2－(t≠0)． 故当t＝时，k取最小值－. 【教师备课资源】 1．知识拓展 物理中的向量 (1)力向量 力向量与前面学过的自由向量有些不同，它不仅包括大小、方向两个要素，而且还有作用点．大小和方向相同的两个力，如果作 用点不同，那么它们是不相等的．但力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，可利用向量法则进行计算．例如，求作用于同一点的两个力的合力，可用向量求和的平行四边形法则． 同一平面上，作用于同一点的两个力f1、f2或三个力f1、f2、f3处于平衡