【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.4 逆变换与逆矩阵教案 苏教版选修4-2.doc

2.4　逆变换与逆矩阵 2．4.1逆矩阵的概念 课标解读 1.理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件． 2．会证明逆矩阵的惟一性和(AB)－1＝B－1A－1等简单性质． 3．会从几何变换的角度求出AB的逆矩阵. 1．逆变换 二阶矩阵A对应着平面上的一个几何变换，它把点(x，y)变换到点(x′，y′)．反过来，如果已知变换后的结果(x′，y′)，有的变换能“找到回家的路”，让它变回到原来的(x，y)，我们称它为原变换的逆变换． 2．逆矩阵 对于二阶矩阵A，B，若AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵，记作：A－1＝B. 3．逆矩阵的性质 (1)若二阶矩阵A存在逆矩阵B，则逆矩阵是惟一的． (2)若二阶矩阵A，B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)－1＝B－1A－1. (3)已知A，B，C为二阶矩阵，且AB＝AC，若矩阵A存在逆矩阵，则B＝C. 4．逆矩阵的求法 一般地，对于二阶矩阵A＝，当ad－bc≠0，矩阵A可逆，且它的逆矩阵 A－1＝. 1．2.2节中六种常见的平面变换哪几个存在逆变换？哪几个不存在？为什么？ 【提示】　恒等、反射、伸压、旋转、切变变换存在逆变换，而投影变换不存在；因为只有一一映射的变换才存在逆变换，而恒等、反射、伸压、旋转、切变变换为一一映射、投影变换不是一一映射． 2．是否每个二阶矩阵都可逆？ 【提示】　不是，只有当中ad－bc≠0时，才可逆，如当A＝，因为1×0－0×0＝0， 找不到二阶矩阵B，使得BA＝AB＝E成立， 故A＝不可逆． 3．若二阶矩阵A，B，C都是可逆矩阵，如何求(ACB)－1? 【提示】　根据逆矩阵的性质及矩阵乘法的结合律得： (ACB)－1＝－1＝B－1(AC)－1＝B－1C－1A－1. 利用几何变换的观点研究矩阵的逆矩阵 　从几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵，若存在，请把它求出来；若不存在，请说明理由． (1)A＝；(2)B＝； (3)C＝；(4)D＝. 【思路探究】　矩阵→对应的几何变换→ 判断是否存在逆变换→若存在写出逆变换→逆矩阵 【自主解答】　(1)矩阵A对应的是伸压变换，它将平面内点的横坐标保持不变，纵坐标沿y轴方向压缩为原来的，因此，它存在逆变换：将平面内的点的横坐标保持不变，纵坐标沿y轴方向伸长为原来的2倍，所对应的变换矩阵记为 A－1＝. (2)矩阵B对应的是切变变换，它将平面内点的纵坐标保持不变，横坐标依纵坐标的比例减少，且(x，y)→(x－2y，y)．它存在逆变换：将平面内点的纵坐标保持不变，横坐标依纵坐标的比例增加，且(x，y)→(x＋2y，y)，所对应的变换矩阵记为 B－1＝. (3)矩阵C对应的是投影变换，它将平面内的点垂直投影到直线y＝x上，它不是一一映射，在这个变换下，直线y＝x上的点有无穷多个原象，而平面上除直线y＝x外其他点没有原象，它的逆变换不存在，因此矩阵C不存在逆矩阵． (4)矩阵D对应的是绕原点逆时针方向旋转90°的旋转变换，因此它存在逆变换：绕原点顺时针旋转90°的旋转变换，所对应的变换矩阵记为 D－1＝. 用几何变换的观点判断矩阵的逆矩阵的存在及求解问题，一般思路是：(1)弄清矩阵所对应的几何变换；(2)根据逆变换的定义判断该变换是否具有逆变换；(3)若有逆变换，找到逆变换；(4)将逆变换写成逆矩阵． 若将本例中矩阵变为下列矩阵，情况如何？ (1)A＝；(2)B＝； (3)C＝；(4)D＝. 【解】　(1)A＝，它表示的变换为将平面内的点绕原点逆时针旋转30°的旋转变换，其逆变换为将平面内的点绕原点顺时针旋转30°的旋转变换，故A－1＝. (2)矩阵B表示的是将平面内所有点垂直投影到x轴上的投影变换，它不是一一对应的变换，所以不存在逆变换，故不存在逆矩阵． (3)矩阵C表示的是将平面内所有点的纵坐标不变，横坐标依纵坐标比例增加，且→的切变变换，其逆变换为将平面内所有点的纵坐标保持不变，横坐标依纵坐标比例减少，且→的切变变换，故C－1＝. (4)矩阵D表示的是将平面内所有点的横坐标不变，纵坐标沿垂直于x轴方向拉伸为原来2倍的伸压变换，其逆变换为将平面内所有点的横坐标不变，纵坐标沿垂直于x轴方向压缩为原来的的伸压变换，故D－1＝. 求矩阵A的逆矩阵 　求矩阵A＝的逆矩阵． 【思路探究】　思路一：设出A－1，利用AA－1＝E，构建方程组求解． 思路二：利用公式A－1＝求解． 【自主解答】　法一　设矩阵A的逆矩阵A－1＝， 则＝， 即＝， 所以解得 故所求的逆矩阵A－1＝. 法二　注意到2×6－3×5＝－3≠0，故A存在逆矩阵A－1，且A－1＝＝. 求一个矩阵A的逆矩阵或证明一个矩阵不可逆时，常用两种解法． 法一：待定矩阵法：先设出其逆矩阵，根据逆矩阵的定义AB＝BA＝E，应用矩阵相等的定义列方程组