【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.4.2 抛物线的几何特性课后知能检测 新人教B版选修2-1.doc

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.4.2 抛物线的几何特性课后知能检测 新人教B版选修2-1 一、选择题 1．顶点在原点，焦点是F(0,5)的抛物线方程是(　　) A．y2＝20x　　　　　　　B．x2＝20y C．y2＝x D．x2＝y 【解析】　由题意＝5，p＝10，且焦点在y轴的正半轴上，顶点为原点，故抛物线的方程x2＝20y. 【答案】　B 2．(2013·佛山高二检测)P为抛物线y2＝2px的焦点弦AB的中点，A，B，P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|，|BB1|，|PP1|，则有(　　) A．|PP1|＝|AA1|＋|BB1| B．|PP1|＝|AB| C．|PP1|＞|AB| D．|PP1|＜|AB| 【解析】　如图所示，根据题意，PP′恰巧是梯形AA′B′B的中位线，故|PP1|＝|AB|. 【答案】　B 3．抛物线y＝ax2＋1与直线y＝x相切，则a等于(　　) A. 　　　B.　 　　C.　 　　D．1 【解析】　由 消y得ax2－x＋1＝0. 直线y＝x与抛物线y＝ax2＋1相切， 方程ax2－x＋1＝0有两相等实根． 判别式Δ＝(－1)2－4a＝0，a＝. 【答案】　B 4．(2013·莆田高二检测)已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　) A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2 【解析】　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线方程得：，－得 (y1＋y2)(y1－y2)＝2p(x1－x2)． 又y1＋y2＝4，＝＝＝k＝1，p＝2. 所求抛物线的准线方程为x＝－1. 【答案】　B 5．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上的一点，则ABP的面积为(　　) A．18 B．24 C．36 D．48 【解析】　不妨设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，依题意，lx轴，且焦点F(，0)，当x＝时，|y|＝p， |AB|＝2p＝12，p＝6， 又点P到直线AB的距离为＋＝p＝6， 故SABP＝|AB|·p＝×12×6＝36. 【答案】　C 二、填空题 6．抛物线y2＝x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________． 【解析】　设抛物线上点的坐标为(x，±)，此点到准线的距离为：x＋，到顶点的距离为，由题意有x＋＝，x＝，此点坐标为(，±)． 【答案】　(，±) 7．(2013·天津高考)已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________． 【解析】　由题意可知抛物线的准线方程为x＝－2， 双曲线的半焦距c＝2.又双曲线的离心率为2， a＝1，b＝，双曲线的方程为x2－＝1. 【答案】　x2－＝1 8．线段AB是抛物线y2＝x的一条焦点弦，且|AB|＝4，则线段AB的中点C到直线x＋＝0的距离为________． 【解析】　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由于|AB|＝x1＋x2＋p＝4， x1＋x2＝4－＝， 中点C(x0，y0)到直线x＋＝0的距离为x0＋＝＋＝＋＝. 【答案】　 三、解答题 9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程． 【解】　设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0)， 设A(x0，y0)，由题知M(0，－)． |AF|＝3，y0＋＝3， |AM|＝， x＋(y0＋)2＝17， x＝8，代入方程x＝2py0得， 8＝2p(3－)，解得p＝2或p＝4. 所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y. 10．已知点A(0，－2)，B(0,4)，动点P(x，y)满足·＝y2－8. (1)求动点P的轨迹方程； (2)设(1)中所求轨迹与直线y＝x＋2交于C，D两点，求证：OCOD(O为坐标原点)． 【解】　(1)由题意可得 ·＝(－x，－2－y)·(－x,4－y)＝y2－8. 化简得x2＝2y. (2)证明　将y＝x＋2代入x2＝2y中，得x2＝2(x＋2)，整理得x2－2x－4＝0，可知Δ＝4＋16＝20＞0.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝2，x1x2＝－4.因为y1＝x1＋2，y2＝x2＋2，所以y1y2＝(x1＋2)(x2＋2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝4.因为·＝x1x2＋y1y2＝0，所以OCOD. 11．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点． (1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值； (2)若|AB|＝9，求