【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.5 与圆有关的比例线段教案 新人教A版选修4-1.doc

五与圆有关的比例线段 课标解读 1.会论证相交弦、割线、切割线、切线长定理． 2.能运用相交弦、割线、切割线、切线长定理进行计算与证明. 1．相交弦定理 (1)文字语言 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． (2)图形语言 如图2－5－1，弦AB与CD相交于P点，则PA·PB＝PC·PD. 图2－5－1 2．割线定理 (1)文字语言 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． (2)图形语言 图2－5－2 如图2－5－2，O的割线PAB与PCD，则有：PA·PB＝PC·PD. 3．切割线定理 (1)文字语言 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． (2)图形语言 如图2－5－3，O的切线PA，切点为A，割线PBC，则有PA2＝PB·PC. 图2－5－3 4．切线长定理 (1)文字叙述 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． (2)图形表示 如图2－5－4，O的切线PA、PB，则PA＝PB，OPA＝OPB. 图2－5－4 1．能否用三角形相似证明相交弦定理？ 【提示】　能．如图，O的弦AB、CD相交于P点，连接AD、BC，则APD∽△CPB.故有＝，即PA·PB＝PC·PD. 2．垂径定理、切线长定理、射影定理、相交弦定理、切割线定理之间有何关系？ 【提示】　如图，PA，PB为O的两条切线，A，B为切点，PCD为过圆心O的割线，连接AB，交PD于点E，则有下列结论： (1)PA2＝PB2＝PC·PD＝PE·PO； (2)AE2＝BE2＝DE·CE＝OE·PE； (3)若AC平分BAP，则C为PAB的内心； (4)OA2＝OC2＝OE·OP＝OD2； (5)＝，＝，PDAB； (6)AOP＝BOP，APD＝BPD. 3．应用切割线定理应注意什么？ 【提示】　应用切割线定理应记清关系式，防止做题时出错． (1)如图所示，把PC2＝PA·PB错写成PC2＝PO·PB； (2)如图所示，把关系式PT2＝PB·PA错写成PT2＝PB·BA，把关系式PB·PA＝PD·PC错写成PB·BA＝PD·DC. 相交弦定理 图2－5－5 　如图2－5－5，AC为O的直径，弦BDAC于点P，PC＝2，PA＝8，则tanACD的值为________． 【思路探究】　由垂径定理知，点P是BD的中点，先用相交弦定理求PD，再用射影定理或勾股定理求AD、CD，最后求tanACD. 【自主解答】　BD⊥AC，BP＝PD， PD2＝PA·PC＝2×8＝16， PD＝4. 连接AD，则ADC＝90°， tan∠ACD＝. 又AD＝＝＝4， CD＝＝＝2， tan∠ACD＝＝2. 【答案】　2 1．解答本题的关键是先用相交弦定理求PD，再用勾股定理或射影定理求AD、CD. 2．相交弦定理的运用往往与相似形联系密切，也经常与垂径定理、射影定理等相结合进行某些计算与证明． (2013·湖南高考)如图2－5－6，在半径为的O中，弦AB，CD相交于点P，PA＝PB＝2，PD＝1，则圆心O到弦CD的距离为________． 图2－5－6 【解析】　由相交弦定理得PA·PB＝PC·PD. 又PA＝PB＝2，PD＝1，则PC＝4， CD＝PC＋PD＝5. 过O作CD的垂线OE交CD于E，则E为CD中点， OE＝＝＝. 【答案】　 切割线定理 图2－5－7 　已知如图2－5－7所示，AD为O的直径，AB为O的切线，割线BMN交AD的延长线于C，且BM＝MN＝NC，若AB＝2.求： (1)BC的长； (2)O的半径r. 【思路探究】　 由AB2＝BM·BN 求得BC→由CD·AC＝CN·CM 求得CD→结果 【自主解答】　(1)不妨设BM＝MN＝NC＝x. 根据切割线定理，得AB2＝BM·BN， 即22＝x(x＋x)． 解得x＝，BC＝3x＝3. (2)在RtABC中， AC＝＝， 由割线定理，得 CD·AC＝CN·CM，由(1)可知， CN＝，BC＝3， CM＝BC－BM＝3－＝2， AC＝， CD＝＝， r＝(AC－CD) ＝(－)＝. 1．解答本题的关键是先根据切割线定理求BC. 2．切割线定理常常与弦切角定理、相交弦定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形结合在一起解决数学问题，有时切割线定理利用方程进行计算、求值等． 图2－5－8 　(2013天津高考)如图2－5－8，在圆内接梯形ABCD中，ABDC.过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若AB＝AD＝5，BE＝4，则弦BD的长为________． 【解析】　因为ABDC，所以四边形ABCD是等腰梯形，所以BC＝AD＝AB＝5.又AE是切线，所以AEBD，AE2＝BE·EC