【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.5 直线与圆锥曲线课后知能检测 新人教B版选修2-1.doc

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.5 直线与圆锥曲线课后知能检测 新人教B版选修2-1 一、选择题 1．经过点(0,1)与抛物线y2＝mx(m＞0)有且只有一个公共点的直线有(　　) A．3条　　　B．2条　　　C．1条　　　D．4条 【解析】　过(0,1)点直线与x轴平行时只有一个交点，另外过(0,1)还有抛物线的两条切线，故选A. 【答案】　A 2．(2012·兰州高二检测)设双曲线－＝1的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为(　　) A. B．5 C. D. 【解析】　双曲线渐近线为y＝±x，不妨取y＝x， ，x2－x＋1＝0有唯一解， Δ＝0，＝4，b2＝4a2， 又c2＝a2＋b2＝a2＋4a2，e＝，故选D. 【答案】　D 3．已知拋物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交拋物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该拋物线的准线方程为(　　) A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2 【解析】　拋物线的焦点F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即 x＝y＋，将其代入y2＝2px＝2p＝2py＋p2， 所以y2－2py－p2＝0， 所以＝p＝2，所以拋物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1，故选B. 【答案】　B 4．已知双曲线－＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是(　　) A．(－，) B．(－，) C．[－，] D. [－，] 【解析】　由－＝1可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，过点F分别作两条渐近线的平行线l1和l2，由图得知，符合题意的直线斜率的取值范围为[－，]． 【答案】　C 5．已知抛物线C：y2＝x与直线l：y＝kx＋1，则“k≠0”是“直线l与抛物线C有两个不同的交点”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【解析】　由(kx＋1)2＝x，得k2x2＋(2k－1)x＋1＝0，则当k≠0时，Δ＝(2k－1)2－4k2＝－4k＋10，得k且k≠0.故由“k≠0”推不出“直线l与抛物线C有两个不同的交点”，但由“直线l与抛物线C有两个不同的交点”能推出“k≠0”．即“k≠0”是“直线l与抛物线C有两个不同的交点”的必要不充分条件． 【答案】　B 二、填空题 6．双曲线x2－y2＝1左支上一点(a，b)到其渐近线y＝x的距离为，则a＋b的值为______． 【解析】　由题知a2－b2＝1，且＝|a－b|＝2，由于双曲线的左支在直线y＝x的上方区域，而直线y＝x上方区域的点使得x－y＜0，所以a－b＜0，则a－b＝－2，故a＋b＝－. 【答案】　－ 7．已知斜率为2的直线l经过椭圆＋＝1的右焦点F2，则直线l与椭圆的交点坐标为________． 【解析】　椭圆的右焦点F2的坐标为(1,0)，则直线l的方程为y＝2(x－1)，由方程组，解得，，因此所求交点坐标为(0，－2)，(，)． 【答案】　(0，－2)，(，) 8．(2013·江西高考)抛物线x2＝2py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p＝________. 【解析】　由于x2＝2py(p0)的准线为y＝－，由 解得准线与双曲线x2－y2＝3的交点为A，B，所以AB＝2 . 由ABF为等边三角形，得AB＝p，解得p＝6. 【答案】　6 三、解答题 9．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，当直线和椭圆有公共点时： (1)求实数m的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程． 【解】 消去y，整理得5x2＋2mx＋m2－1＝0， Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2.20－16m2≤m≤. (2)由根与系数的关系得， 所以弦长L＝ ＝＝. 当m＝0时，L最大值为， 此时直线的方程为y＝x. 10．在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q. (1)求k的取值范围； (2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量＋与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由． 【解】　(1)由已知条件，直线l的方程为y＝kx＋， 代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1. 整理得(＋k2)x2＋2kx＋1＝0. 直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q 等价于Δ＝8k2－4(＋k2)＝4k2－2＞0， 解得k＜－或k＞， 即k的取值范围为(－∞，－)(，＋∞)． (2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)， 由方程，x1＋x2＝－. 又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2.