【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.5 特征值与特征向量教案 苏教版选修4-2.doc

2.5　特征值与特征向量 课标解读 1.掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义． 2．会求二阶矩阵的特征值与特征向量(只要求特征值是两个不同实数的情形)． 3．利用矩阵A的特征值、特征向量给出Anα的简单表示，并能用它来解决问题. 1．特征值与特征向量的定义 设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量． 2．特征多项式的定义 设A＝是一个二阶矩阵，λR，我们把行列式f(λ)＝＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc称为A的特征多项式． 3．特征值与特征向量的计算 设λ是二阶矩阵A＝的特征值，α为λ的特征向量，求λ与α的步骤为： 第一步：令矩阵A的特征多项式f(λ)＝＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc＝0，求出λ的值． 第二步：将λ的值代入二元一次方程组 得到一组非零解，于是非零向量即为矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量． 4．Anα(nN*)的简单表示 (1)设二阶矩阵A＝，α是矩阵A的属于特征值λ的任意一个特征向量，则Anα＝λnα(nN*)． (2)设λ1，λ2是二阶矩阵A的两个不同特征值，α，β是矩阵A的分别属于特征值λ1，λ2的特征向量，对于平面上任意一个非零向量γ，设γ＝t1α＋t2β(其中t1，t2为实数)，则Anγ＝t1λα＋t2λβ(nN*)． 1．特征值与特征向量的几何意义如何？ 【提示】　从几何上看，特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ＞0)，或者方向相反(λ＜0)，特别地，当λ＝0时，特征向量就被变换成了零向量． 2．特征值与特征向量有怎样的对应关系？ 【提示】　如果向量α是属于λ的特征向量，将它乘非零实数t后所得的新向量tα与向量α共线，故tα也是属于λ的特征向量，因此，一个特征值对应多个特征向量，显然，只要有了特征值的一个特征向量，就可以表示出属于这个特征值的共线的所有特征向量了． 3．如何求矩阵A幂的作用结果？ 【提示】　由于特征向量的存在，求矩阵幂的作用结果，可以转化成求数的幂的运算结果. 特征值与特征向量的计算与应用 　(1)求矩阵A＝的特征值和特征向量； (2)已知二阶矩阵A的属于特征值－1的一个特征向量为，属于特征值3的一个特征向量为，求矩阵A. 【思路探究】　(1)f(λ)→f(λ)＝0→特征值→特征向量 (2)利用Aα＝λα构建方程组求解． 【自主解答】　(1)矩阵A的特征多项式为： f(λ)＝＝(λ－1)(λ－2)． 令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝1，λ2＝2. 将λ1＝1代入二元一次方程组 解得y＝0，x可以为任何非零实数， 不妨记x＝k，kR，且k≠0. 于是矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为. 将λ2＝2代入二元一次方程组 解得x＝0，y可以为任何非零实数， 不妨记y＝m，mR，且m≠0. 于是矩阵A的属于特征值2的一个特征向量为. 因此，矩阵A＝的特征值为1和2，分别对应的一个特征向量是，. (2)设A＝ 由题意知＝，＝， 即解得 A＝. 1．求矩阵A的特征值与特征向量的一般思路为：先确定其特征多项式f(λ)，再由f(λ)＝0求出该矩阵的特征值，然后把特征值代入矩阵A所确定的二元一次方程组即可求出特征向量． 2．根据矩阵A的特征值与特征向量求矩阵A的一般思路：设A＝，根据Aα＝λα构建a，b，c，d的方程求解． (1)若将本例(1)中A变为，则其特征值与特征向量如何求？ (2)已知矩阵A有特征值λ1＝8及对应的特征向量α1＝，并有特征值λ2＝2及对应的特征向量α2＝，试确定矩阵A. 【解】　(1)矩阵A的特征多项式为 f(λ)＝. 令f(λ)＝0，即λ2－5λ－24＝0.由此得到的两个根分别为λ1＝8，λ2＝－3，即λ1＝8，λ2＝－3为矩阵A的两个不相等的特征值． 将λ1＝8代入二元一次方程组 即得5x＝6y. 它有无穷多个非零解，其中x≠0，我们任取一个，如，它是属于特征值λ＝8的一个特征向量． 类似地，对于λ2＝－3，代入二元一次方程组，则有 即 它有无穷多个非零解，其中x≠0，我们任取一个，如，它是属于特征值λ＝－3的一个特征向量． (2)不妨设矩阵A＝，a，b，c，d均为实数． 由题意则有＝ 及＝，从而 解得a＝6，b＝2，c＝4，d＝4，即矩阵A＝. 根据A，α计算Anα(nN*) 　给定的矩阵A＝，B＝. (1)求A的特征值λ1，λ2及对应的特征向量α1，α2； (2)求A4B. 【思路探究】　用特征多项式求出λ，然后求出与λ对应的特征向量，再利用性质A4B＝sλα1＋tλα2求A4B. 【自主解答】　(1)设A的一个特征值为λ，由题意知： ＝0，即(λ－2)(λ－3)＝0，λ1＝2