【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.1 二维形式的柯西不等式课后知能检测 新人教A版选修4-5.doc

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.1 二维形式的柯西不等式课后知能检测 新人教A版选修4-5 一、选择题 1．若a2＋b2＝1，x2＋y2＝2，则ax＋by的最大值为(　　) A．1　　　　　　　　 B．2 C. D．4 【解析】　(ax＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝2， ax＋by≤. 【答案】　C 2．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则(　　) A．ab≤ B．ab≥ C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3 【解析】　(12＋12)(a2＋b2) ≥(a＋b)2＝4， a2＋b2≥2. 【答案】　C 3．已知a，bR＋，且a＋b＝1，则P＝(ax＋by)2与Q＝ax2＋by2的关系是(　　) A．P≤Q B．PQ C．P≥Q D．PQ 【解析】　设m＝(x，y)，n＝(，)， 则|ax＋by|＝|m·n|≤|m||n| ＝· ＝·＝， (ax＋by)2≤ax2＋by2.即P≤Q. 【答案】　A 4．若a＋b＝1且a，b同号，则(a＋)2＋(b＋)2的最小值为(　　) A．1 B．2 C. D． 【解析】　(a＋)2＋(b＋)2 ＝a2＋2＋＋b2＋2＋＝(a2＋b2)(1＋)＋4， a＋b＝1，ab≤()2＝， a2＋b2＝(a2＋b2)·(1＋1) ≥·(a＋b)2＝，1＋≥1＋42＝17， (a＋)2＋(b＋)2≥＋4＝. 【答案】　C 二、填空题 5．函数y＝＋的最大值为________． 【解析】　y2＝(＋)2＝(＋·)2≤[12＋()2][(1－x)＋(－x)]＝， y≤，当且仅当 ＝·即x＝时等号成立． 【答案】　 6．设x，yR＋，且x＋2y＝8，则＋的最小值为________． 【解析】　(x＋2y)(＋) ＝[()2＋()2][()2＋()2]≥(·＋·)2＝25，当且仅当·＝，即x＝，y＝时，“＝”成立．又x＋2y＝8， ＋≥. 【答案】　 三、解答题 7．已知θ为锐角，a，b均为正实数．求证：(a＋b)2≤＋. 【证明】　设m＝(，)，n＝(cos θ，sin θ)， 则|a＋b|＝|·cos θ＋·sin θ| ＝|m·n|≤|m||n|＝ · ＝ ， (a＋b)2≤＋. 8．已知a＋b＝1，求a2＋b2的值． 【解】　由柯西不等式，得 (a＋b)2 ≤[a2＋(1－a2)][(1－b2)＋b2]＝1， 由a＋b＝1 因此柯西不等式中等号成立． 又当且仅当＝时，上式取等号， 所以ab＝·，a2b2 ＝(1－a2)(1－b2)， 于是a2＋b2＝1. 9．在半径为R的圆内，求内接长方形的最大周长． 【解】 如图所示，设内接长方形ABCD的长为x，宽为，于是 ABCD的周长l＝2(x＋) ＝2(1·x＋1×)． 由柯西不等式 l≤2[x2＋()2](12＋12)＝2·2R ＝4R. 当且仅当＝，即x＝R时等号成立． 此时，宽＝＝R，即ABCD为正方形， 故内接长方形为正方形周长最大，其周长为4R. 教师备选 10．求证：点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d＝. 【证明】　设Q(x，y)是直线上任意一点，则Ax＋By＋C＝0.因为|PQ|2＝(x－x0)2＋(y－y0)2，A2＋B2≠0.由柯西不等式，得 (A2＋B2)[(x－x0)2＋(y－y0)2] ≥[A(x－x0)＋B(y－y0)]2 ＝[(Ax＋By)－(Ax0＋By0)]2 ＝(Ax0＋By0＋C)2， 所以|PQ|≥. 当且仅当＝＝－时，取等号．由垂线段最短， 得d＝. 因此，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d＝.