【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.1.1 两角差的余弦公式配套课件 新人教版必修4.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 教师用书独具演示 * * * * * * * * * * * * * * 演示结束 * 课标解读 1.掌握两角差的余弦公式．(重点) 2.会利用向量的数量积推导出两角差的余弦公 式． (难点) 3.两角差的余弦和两角余弦的差．(易混点) * * * * * 3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3．1.1　两角差的余弦公式 ●三维目标 1．知识与技能 掌握用向量方法建立两角差的余弦公式．通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其他和(差)公式打好基础． 2．过程与方法 经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用． 3．情感、态度与价值观 通过本节学习和应用实践，培养学生的探索精神，体会数学的科学价值、应用价值，学会用数学的思维方式解决问题． ●重点、难点 重点：通过探索得到两角差的余弦公式． 难点：探索过程的组织和适当引导．这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等． ●教学建议 两角差的余弦公式的推导是本节的重点，也是难点．尤其是要引导学生通过主动参与，独立探索，自己得出结果更是难点． 首先明确提出探索课题：如何用任意角α，β的正弦、余弦值来表示cos(α－β)呢？ 凭直觉得出cos(α－β)＝cos α－cos β是学生经常出现的错误，通过讨论可以知道它不是对任意角探索目标的认识，也为以此公式为基础去推导其他和差公式作了准备． 联系已经学过的三角函数知识探索有关三角函数的问题是很自然的．鉴于学生独立地运用单位圆上的三角函数线进行探索存在一定的困难，因此这个过程比较困难、复杂，教学中应适时作出必要的引导． 在引导学生用向量数量积探索两角差的余弦公式时，可提出以下要点： (1)在回顾求角的余弦有哪些方法时，联系向量知识，体会向量方法的作用． (2)结合有关图形，完成运用向量方法推导公式的必要准备． (3)探索过程不应追求一步到位，应先不去理会其中的细节，抓住主要问题及其讨论线索进行探索，然后再作反思，予以完善(这也是处理一般探索性问题应遵循的原则)．其中完善的过程既要运用分类讨论的思想，又要用到诱导公式． ●教学流程 【问题导思】　 1．cos 60°－cos 30°＝cos(60°－30°)成立吗？ 【提示】　不成立． 2．cos α－cos β＝cos(α－β)成立吗？ 【提示】　不一定． 3.单位圆中(如图)，∠AOx＝α，BOx＝β，那么A，B的坐标是什么？与的夹角是多少？ 【提示】　A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β)． 与的夹角是α－β. 4．你能用哪几种方法计算·的数量积？ 【提示】　·＝||||cos(α－β)＝cos(α－β)， ·＝cos αcos β＋sin αsin β. 5．根据上面的计算可以得出什么结论？ 【提示】　cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.cos(α－β)＝ . (1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角． (2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接等号与左边角的连接符号相反． cos α·cos β＋sin α·sin β 　求值：(1)sin 460°·sin(－160°)＋cos 560°·cos(－280°)； (2)sin 285°. 【思路探究】　解答本题可利用诱导公式转化为两角差的余弦公式来求解． 【自主解答】　(1)原式＝sin 100°·(－sin 160°)＋cos 200°·cos 280° ＝－sin 100°·sin 20°－cos 20°·cos 80° ＝－(cos 80°·cos 20°＋sin 80°·sin 20°) ＝－cos 60° ＝－. (2)sin 285°＝sin(270°＋15°)＝－cos 15° ＝－cos(60°－45°) ＝－(cos 60°·cos 45°＋sin 60°·sin 45°) ＝－. 1．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值． (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值． 2．两角差的余弦公式的结构特点： (1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦． (2)把所得的积相加． 求下列各式的值： (1)cos(－165°)； (2)sin 15°sin 105°＋cos 15°cos 105°. 【解】　(1)原式＝cos 165°＝－cos 15° ＝－cos(45°－30°) ＝－(cos 45°cos 30°＋sin 45°sin