【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.1.2 第2课时 函数的极值课后知能检测 北师大版选修2-2.doc

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.1.2 第2课时 函数的极值课后知能检测 北师大版选修2-2 一、选择题 1．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数的图像如图3－1－6所示，则函数f(x)的极小值是(　　) 图3－1－6 A．a＋b＋c　　　　　　　B．8a＋4b＋c C．3a＋2b D．c 【解析】　由f′(x)的图像可知x(－∞，0)(2，＋∞)时，f′(x)＜0；x(0,2)时，f′(x)＞0. f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上为减函数，在(0,2)上为增函数． x＝0时，f(x)取到极小值为f(0)＝c. 【答案】　D 2．函数y＝1＋3x－x3有(　　) A．极大值3，极小值1 B．极大值3，极小值－1 C．极大值3，无极小值 D．极小值－1，无极大值 【解析】　令y＝f(x)，则f′(x)＝3－3x2，令f′(x)＝0，得x＝±1. 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x)  极小值  极大值  故当x＝－1时，函数取得极小值，且极小值为－1；当x＝1时，函数取得极大值，且极大值为3.故选B. 【答案】　B 3．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图3－1－7所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(　　) 图3－1－7 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】　函数在极小值点附近的图像应有先减后增的特点，因此应该在导函数的图像上找从x轴下方变为x轴上方的点，这样的点只有1个，所以函数f(x)在开区间(a，b)内只有1个极小值点． 【答案】　A 4．已知函数f(x)＝x2－2ax＋b在x＝1处有极小值2，则(　　) A．a＝0，b＝1 B．a＝1，b＝2 C．a＝1，b＝3 D．a＝2，b＝1 【解析】　由二次函数性质知－＝1，即a＝1，f(1)＝1－2a＋b＝2，即b＝3. 【答案】　C 5．已知aR，若函数f(x)＝(x－a)ex有大于零的极值点，则(　　) A．a0 B．a0 C．a1 D．a1 【解析】　f′(x)＝ex＋(x－a)ex＝[x－(a－1)]ex，f(x)有大于零的极值点，即f′(x)＝0有正根，而f′(x)＝0的根为a－1，故a－10，a1. 【答案】　C 二、填空题 6．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值等于13，则实数m＝________. 【解析】　y′＝－3x2＋12x，由y′＝0得x＝0或4，易知当x＝4时，函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m＝13得m＝－19. 【答案】　－19 7．关于函数f(x)＝x3－3x2的下列命题，其中正确命题的序号是________． f(x)是增函数； f(x)是减函数，无极值； f(x)的增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，减区间为(0,2)； f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值． 【解析】　f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，易知正确． 【答案】　 8．若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是________． 【解析】　f′(x)＝3x2－6b，f(x)在(0,1)内有极小值， 则f′(x)在(0,1)内存在零点，且f′(x)在(0,1)上为增函数， 解得0＜b＜. 【答案】　(0，) 三、解答题 9．求函数f(x)＝(x2－1)3＋1的极值． 【解】　f(x)＝(x2－1)3＋1，f′(x)＝3(x2－1)2·(x2－1)′＝6x(x2－1)2. 令f′(x)＝0得，x1＝0，x2＝－1，x3＝1. 而x＝1和x＝－1不是极值点，f′(x)在x＝0附近取值情况为左负右正，故x＝0是极小值点，且f(0)＝0.即极小值为0. 10．若f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，求a的取值范围． 【解】　f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)． f(x)既有极大值又有极小值， 3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0有两个不同的解， Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1. 11．设函数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1. (1)求f(x)的单调区间； (2)讨论f(x)的极值． 【解】　由已知得f′(x)＝6x[x－(a－1)]， 令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝a－1. (1)当a＝1时，f′(x)＝6x2，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增． 当a1时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0，a－1) a－1 (a－1，＋∞) f′(x)