【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量课后知能检测 苏教版选修2-1.doc

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量课后知能检测 苏教版选修2-1 一、填空题 1．若点A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则l的一个单位方向向量为________． 【解析】　＝(2,4,6)，||＝＝2. l的一个单位方向向量为 ＝(2,4,6)＝(，，)． 【答案】　(，，) 2．已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量的坐标为________． 【解析】　设n＝(x，y，z)，由 得 n＝(，－，)或(－，，－)． 【答案】　(，－，)或(－，，－) 3．如果三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(a,3，b＋2)在同一直线上，那么a＝________，b＝________. 【解析】　＝(1，－1,3)，＝(a－2，－1，b＋1)． A，B，C三点在同一条直线上，＝λ. ?. 【答案】　3　2 4．已知平面α内有一个点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3,6)，若点P(x,3,3)也在平面α内，则x＝________. 【解析】　＝(x－1,4,1)， n·＝0，6(x－1)－12＋6＝0，x＝2. 【答案】　2 5．已知A(0,1,0)，B(－1,0,1)，C(2,1,1)，P(x,0，z)，若PA平面ABC，则点P的坐标为________． 【解析】　＝(－x,1，－z)，＝(－1，－1,1)，＝(2,0,1)，因为PA平面ABC，所以，即， 即，解得x＝，z＝－. 【答案】　(，0，－) 6．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，若＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)，则给出下列结论：AP⊥AB；AP⊥AD；是平面ABCD的一个法向量；∥.其中正确的结论是________． 【解析】　·＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则，即APAB； ·＝(－1)×4＋2×2＋0＝0，则，即APAD，又AB∩AD＝A，AP⊥平面ABCD，故是平面ABCD的一个法向量．由于＝－＝(2,3,4)，＝(－1,2，－1)， ≠≠，所以与不平行． 【答案】　 7．若A(0,2，)，B(1，－1，)，C(－2,1，)是平面α内的三点，设平面α的法向量为a＝(x，y，z)，则xy∶z＝________. 【解析】　＝(1，－3，－)，＝(－2，－1，－)，由，得， 解得， 则xy∶z＝yy∶(－y)＝23∶(－4)． 【答案】　23∶(－4) 8．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点中，在平面α内的是________．(把所有正确的序号都填上) (1，－1,1)；(1,3，)；(1，－3，)； (－1,3，－)． 【解析】　平面α的方程为3(x－2)＋(y＋1)＋2(z－2)＝0即3x＋y＋2z－9＝0，代入检验可知符合． 【答案】　 二、解答题 9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O为底面ABCD的中心，求证：是平面PAC的法向量． 【证明】　如图，建立空间直角坐标系， 不妨设正方体的棱长为2， 则A(2,0,0)，P(0,0,1)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，O(1,1,0)，于是＝(1,1,2)，＝(－2,2,0)，＝(－2,0,1)． 由于·＝－2＋2＝0及·＝－2＋2＝0，⊥，. ∵AC∩AP＝A，OB1⊥平面PAC， 即是平面PAC的法向量． 图3－2－4 10．如图3－2－4，已知点A(a,0,0)，B(0，b,0)，C(0,0，c)．求平面ABC的一个法向量． 【解】　由已知可得 ＝－＝(0，b,0)－(a,0,0)＝(－a，b,0)， ＝－＝(0,0，c)－(a,0,0)＝(－a,0，c)． 设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则n·＝(x，y，z)·(－a，b,0)＝－ax＋by＝0， n·＝(x，y，z)·(－a,0，c)＝－ax＋cz＝0， 于是得y＝x，z＝x. 不妨令x＝bc，则y＝ac，z＝ab. 因此，可取n＝(bc，ac，ab)为平面ABC的一个法向量． 图3－2－5 11．如图3－2－5，四棱锥P—ABCD中，PD＝AD＝DC，底面ABCD为正方形，E为PC的中点，F在PB上，问F在何位置时，为平面DEF的一个法向量？ 【解】　建系如图，设DA＝2， 则D(0,0,0)，P(0,0,2)，C(0,2,0)． E(0,1,1)，B(2,2,0)， ＝(2,2，－2)， 设＝λ，F(x，y，z)， (x，y，z－2)＝λ(2,2，－2)， ∴F(2λ，2λ，2－2λ)， ＝(2λ，2λ，2－2λ)． ·＝0，4λ＋4λ－2(2－2λ