【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.2.2 平面的法向量和平面的向量表示课后知能检测 新人教B版选修2-1.doc

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.2.2 平面的法向量和平面的向量表示课后知能检测 新人教B版选修2-1 一、选择题 1．给定下列命题： 若a是平面α的斜线，直线b垂直于a在α内的射影，则ab； 若a是平面α的斜线，平面β内的一条直线b垂直于a在α内的射影，则ab； 若a是平面α的斜线，bα，且b垂直于a在另一个平面内的射影，则ab； 若a是平面α的斜线，bα，且b垂直于a在α内的射影，则ab. 其中，正确命题的个数是(　　) A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3 【解析】　b必须在α内，b也必须在α内，不能在β内，b应垂直于a在α内的射影，正确，故选B. 【答案】　B 2．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则(　　) A．lα B．lα C．lα D．l与α斜交 【解析】　a＝－n，a∥n，即aα， l⊥α. 【答案】　B 3．已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，则平面ABC的一个单位法向量为(　　) A. B. C. D. 【解析】　设平面ABC的法向量n为(x，y,1)． ∴解得，∴n为， 又∵|n|＝. ∴单位法向量为±＝±，故选B. 【答案】　B 4．如图3－2－15，正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1ACC1的一个法 图3－2－15 向量可以是(　　) A. B. C. D. 【解析】　A1A⊥BD，ACBD， BD⊥面A1ACC1， ∴为平面A1ACC1的一个法向量． 【答案】　D 5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1中点，则直线CE垂直于(　　) A．AC B．BD C．A1D D．A1A 【解析】　CE在底面ABCD内的射影为AC，又BDAC，BD⊥CE，故选B. 【答案】　B 二、填空题 6．若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且αβ，则y＋z＝______. 【解析】　α∥β，u1∥u2.∴＝＝. y＝1，z＝－4.y＋z＝－3. 【答案】　－3 7．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：AP⊥AB；AP⊥AD；是平面ABCD的法向量；∥.其中正确的是________． 【解析】　·＝0，·＝0， AB⊥AP，ADAP，则正确． 又与不平行， 是平面ABCD的法向量，则正确． 由于＝－＝(2,3,4)，＝(－1,2，－1)， 与不平行，故错误． 【答案】　 图3－2－16 8．如图3－2－16所示，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQQD，则a的值等于______． 【解析】　PA⊥平面ABCD，则AQ是PQ在面ABCD内的射影，由PQQD，得AQQD，则AQD为Rt， 设BQ＝x，则CQ＝a－x， 所以AQ2＝1＋ x2，QD2＝1＋(a－x)2， 那么a2＝1＋x2＋1＋(a－x)2， 整理得x2－ax＋1＝0. 由题意，该方程有两个相等的实根，故Δ＝0，即a2＝4， 又a＞0，a＝2. 【答案】　2 三、解答题 9. 图3－2－17 如图3－2－17，平面PAC平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.设G是OC的中点，证明：FG平面BOE. 【证明】　如图，连接OP，以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，则 O(0,0,0)，B(8,0,0)，P(0,0,6)，E(0，－4,3)，F(4,0,3)，G(0,4,0). 因为＝(8,0,0)， ＝(0，－4,3)， 设平面BOE的法向量为n＝(x，y，z)，则 解得x＝0,4y＝3z，令z＝4，则n＝(0,3,4)， 所以平面BOE的一个法向量n＝(0,3,4)． 由＝(－4,4，－3)，得n·＝0. 又直线FG不在平面BOE内． 所以FG平面BOE. 图3－2－18 10．如图3－2－18，在正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BEEC＝PFFB＝12. 求证：平面GEF平面PBC. 【证明】　如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA、PB、PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标 系，设PA＝PB＝PC＝3， 则A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0)． 于是＝(3,0,0)，F＝(1,0,0)， 故＝3，PA∥FG. 而AP平面PBC