【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.2.2 第1、2 课时 实际问题中导数的意义 最大值 最小值问题课后知能检测 北师大版选修2-2.doc

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.2.2 第1、2 课时 实际问题中导数的意义 最大值 最小值问题课后知能检测 北师大版选修2-2 一、选择题 1．一个质点在直线上运动，运动方程为s＝f(t)＝3t－t2，则此质点在t[0，]时最大位移和最大速度分别是(　　) A．3,3　　　　　　　　　B.，3 C.， D.， 【解析】　s＝f(t)＝3t－t2是二次函数，易求最大值为.速度v＝f′(t)＝3－2t，当t[0，]时，v最大为3，故正确选项为B. 【答案】　B 2．当函数f(x)＝x＋2cos x在区间[0，]上取得最大值时，x的值为(　　) A．0　　　　B. C.　　　　D. 【解析】　f′(x)＝1＋2(－sin x)，令f′(x)＝0，解得sin x＝.0≤x≤，x＝.当0≤x≤时，f′(x)0，函数是增加的；当＜x≤时，f′(x)0，函数是减少的，x ＝时，函数取得极大值，也是最大值． 【答案】　B 3．若函数f(x)＝asin x＋sin 3x在x＝处有最值，那么a等于(　　) A．2 B．1 C. D．0 【解析】　f′(x)＝acos x＋cos 3x，由题意f′()＝0， 即a－1＝0，故a＝2. 【答案】　A 4．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为(　　) A．13万件 B．11万件 C．9万件 D．7万件 【解析】　y＝f(x)＝－x3＋81x－234， y′＝－x2＋81， 令y′＝0得x＝9，x＝－9(舍去)， 当0x9时y′0，函数f(x)单调递增． 当x9时y′0，函数f(x)单调递减 故当x＝9时，y取最大值． 【答案】　C 5．将一段长为100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，当正方形与圆的面积之和最小时，圆的周长为(　　) A．50 B. C. D．25 【解析】　设圆的周长为x cm，则正方形的周长为(100－x)cm.则0＜x＜100. 圆的半径为r＝，正方形的边长为25－， 则圆与正方形的面积之和为 S(x)＝x2＋(25－)2(0＜x＜100)， S′(x)＝x－(25－)． 由S′(x)＝0，得x＝，此时S(x)取得最小值． 【答案】　B 二、填空题 6．设函数f(x)＝x3－－2x＋5.若存在x[－1,2]使得f(x)m，则实数m的取值范围是________． 【解析】　f′(x)＝3x2－x－2＝3(x＋)(x－1)． f(－1)＝，f(－)＝，f(1)＝，f(2)＝7， f(x)最大值为7，故m7. 【答案】　(－∞，7) 7．(2013·福州高二检测)函数f(x)＝ax4－4ax3＋b(a＞0)在[1,4]上的最大值为3，最小值为－6，则a＋b＝________. 【解析】　f′(x)＝4ax3－12ax2(a＞0，x[1,4])． 由f′(x)＝0，得x＝0(舍)，或x＝3，可得x＝3时，f(x)取到最小值为b－27a. 又f(1)＝b－3a，f(4)＝b，f(4)为最大值． 由解得 a＋b＝. 【答案】　 8．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm3，其底面两邻边之比为12，则它的长为________，宽为______，高为______时，可使表面积最小． 【解析】　设体积为V cm3，底面两邻边分别为x cm，2x cm，高为y cm，则V＝2x2·y，所以y＝＝，所以表面积S＝2(2x2＋xy＋2xy)＝4x2＋，所以S′＝8x－，令S′＝0得x＝3.所以长为6 cm，宽为3 cm，高为4 cm. 【答案】　6 cm　3 cm　4 cm 三、解答题 9．已知某商品生产成本C与产量q(0q100)的函数关系式为C＝100＋4q，价格p与产量q的函数关系式为p＝25－q.求产量q为何值时，利润L最大？ 【解】　设销售额为R，则 R＝q·p＝q(25－q)＝25q－q2. 利润 L＝R－C＝(25q－q2)－(100＋4q)＝－q2＋21q－100(0q100)． L′＝－q＋21， 令L′＝0，即－q＋21＝0，求得唯一的极值点q＝84. 所以产量为84时，利润L最大． 10．已知a1，函数f(x)＝x3－ax2＋b在区间[－1，1]上的最大值为1，最小值为－，求常数a，b的值． 【解】　f′(x)＝3x2－3ax＝3x(x－a). x －1 (－1,0) 0 (0，a) a (a,1) 1 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) －1－a＋b  b ↘ b－  1－a＋b 由表可见，当x＝0时，f(x)取得极大值f(0)＝b； 当x＝a时，f(x)取得极小值f(a)＝－