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【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 3.4 生活中的优化问题举例课后知能检测 新人教A版选修1-1
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 3.4 生活中的优化问题举例课后知能检测 新人教A版选修1-1
一、选择题
1.已知函数f(x),xR,有唯一极值,且当x=1时,f(x)存在极小值,则( )
A.当x(-∞,1)时,f′(x)>0;当x(1,+∞)时,f′(x)<0
B.当x(-∞,1)时,f′(x)>0;当x(1,+∞)时,f′(x)>0
C.当x(-∞,1)时,f′(x)<0;当x(1,+∞)时,f′(x)>0
D.当x(-∞,1)时,f′(x)<0;当x(1,+∞)时,f′(x)<0
【解析】 f(x)在x=1时存在极小值,则当x<1时,f′(x)<0,当x>1时,f′(x)>0,应选C.
【答案】 C
图3-3-6
2.(2013·青岛高二检测)已知函数f(x)=ax3+bx2+c,其导函数f′(x)的图象如图3-3-6所示,则函数f(x)的极小值是( )
A.a+b+c B.3a+4b+c
C.3a+2b D.c
【解析】 由f′(x)的图象可知,当x=0时,函数取得极小值,f(x)极小值=c.
【答案】 D
3.函数f(x)=x3-3x2+3x( )
A.x=1时,取得极大值
B.x=1时,取得极小值
C.x=-1时,取得极大值
D.无极值点
【解析】 f′(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0恒成立.
f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,f(x)无极值.
【答案】 D
4.(2013·临沂高二检测)已知函数f(x)=x3+ax2+3x+5在x=-3时取得极值,则a=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】 f′(x)=3x2+2ax+3,由题意:f′(-3)=27-6a+3=0
a=5.应选D.
【答案】 D
5.如图3-3-7所示是函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图象,则x+x等于( )
图3-3-7
A. B. C. D.
【解析】 函数f(x)=x3+bx2+cx+d图象过点(0,0),(1,0),(2,0),得d=0,b+c+1=0,4b+2c+8=0,则b=-3,c=2,f′(x)=3x2+2bx+c=3x2-6x+2,且x1,x2是函数f(x)=x3+bx2+cx+d的两个极值点,即x1,x2是方程3x2-6x+2=0的实根,x+x=(x1+x2)2-2x1x2=4-=.
【答案】 C
二、填空题
6.若函数y=-x3+6x2+m的极大值为13,则实数m等于________.
【解析】 y′=-3x2+12x=-3x(x-4).
令y′=0得x1=0,x2=4.
列表可知y极大=f(4)=32+m=13.
m=-19.
【答案】 -19
7.若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围是________.
【解析】 f′(x)=3x2+6ax+3(a+2),
由题意f′(x)=0有两个不等的实根,
故Δ=(6a)2-4×3×3(a+2)>0,解之得a>2或a<-1.
【答案】 (-∞,-1)(2,+∞)
8.(2013·昆明高二检测)如果函数y=f(x)的导函数的图象如图3-3-8所示,给出下列判断:
图3-3-8
(1)函数y=f(x)在区间(-3,-)内单调递增;
(2)函数y=f(x)在区间(-,3)内单调递减;
(3)函数y=f(x)在区间(4,5)内单调递增;
(4)当x=2时,函数y=f(x)有极小值;
(5)当x=-时,函数y=f(x)有极大值.
则上述判断中正确的是________.
【解析】 由导函数的图象知:
当x(-∞,-2)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
当x(-2,2)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;
当x(2,4)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
当x(4,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;
在x=-2时,f(x)取极小值;
在x=2时,f(x)取极大值;
在x=4时,f(x)取极小值;
所以只有(3)正确.
【答案】 (3)
三、解答题
9.求下列函数的极值.
(1)f(x)=x3-12x;(2)f(x)=-2.
【解】 (1)函数f(x)的定义域为R.
f′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2).
令f′(x)=0,得x=-2或x=2.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) 极大值f(-2)=16 极小值f(2)=-16 所以当x=-2时,函数有极大值,
且f(-2)=(-2)3-12×(-2)=16;
当x=2时,函数有极小值,
且f(2)=23-12×2=-16.
(2
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