【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 4.1.1 第1、2课时 定积分的背景 面积和路程问题 定积分课后知能检测 北师大版选修2-2.doc

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 4.1.1 第1、2课时 定积分的背景 面积和路程问题 定积分课后知能检测 北师大版选修2-2 一、选择题 1．求曲线y＝2x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[0,1]5等分，则面积的过剩估计值是(　　) A．0.88　　　　　　　　B．0.85 C．0.86 D．0.87 【解析】　过剩估计值S1＝2×(0.22＋0.42＋0.62＋0.82＋12)×0.2＝0.88. 【答案】　A 2.xdx的几何意义是(　　) A．由直线y＝x，x＝2，x＝4及x轴围成的平面图形 B．由直线y＝x，x＝2，x＝4及x轴围成的平面图形的面积 C．直线y＝x D．直线y＝x，x轴，y轴围成的平面图形的面积 【解析】　由定积分的几何意义易知选B. 【答案】　B 3．已知f(x)dx＝3，则[f(x)＋6]dx＝(　　) A．9　　　　B．12 C．15　　　　D．18 【解析】　根据定积分的性质，[f(x)＋6]dx＝ f(x)dx＋6dx＝15. 【答案】　C 4．已知曲线y＝f(x)在x轴下方，则由y＝f(x)，y＝0，x＝－1和x＝3所围成的曲边梯形的面积S可表示为(　　) A.f(x)dx B.f(x)dx C．－－1f(x)dx D．－－3f(x)dx 【解析】　由题意－f(x)0 ，故S＝(－f(x))dx＝－f(x)dx. 【答案】　C 5．由曲线y＝ex，直线y＝x，x＝0，x＝2所围成的平面图形的面积S可以表示为(　　) A.exdx B.xdx C.(ex－x)dx D.(ex＋x)dx 【解析】　 如图所示，阴影部分的面积为S，则S＝S1－S2，其中S1＝exdx(即由曲线y＝ex，直线x＝0，x＝2及x轴所围成的平面图形的面积)，S2＝xdx(即由直线y＝x，x＝0，x＝2及x轴所围成的平面图形的面积)，所以S＝exdx－xdx＝(ex－x)dx. 【答案】　C 二、填空题 6．如图4－1－3，阴影部分的面积分别以A1，A2，A3表示，则定积分f(x)dx＝________. 图4－1－3 【解析】　f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＋ f(x)dx＝A1＋(－A2)＋A3＝A1＋A3－A2. 【答案】　A1＋A3－A2 7．设f(x)是连续函数，若f(x)dx＝1，f(x)dx＝－1，则f(x)dx＝________. 【解析】　由定积分的性质得f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx，又f(x)dx＝1，f(x)dx＝－1，f(x)dx＝f(x)dx－f(x)dx＝－2.故填－2. 【答案】　－2 8．某汽车做变速直线运动，在时刻t(单位：h)时的速度为v(t)＝t2＋2t(单位：km/h)，那么它在3≤t≤4这段时间内行驶的路程s(单位：km)可表示为________． 【解析】　如图所示， 阴影部分的面积表示汽车在3≤t≤4这段时间内行驶的路程s，则s＝v(t)dt＝(t2＋2t)dt. 【答案】　(t2＋2t)dt 三、解答题 9．汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程s＝vt.如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝t2＋2，请计算它在1≤t≤2这段时间行驶的路程的过剩估计值和不足估计值(n＝5)． 【解】　将区间[1,2]分成5个小区间，则第i个小区间为 [1＋，1＋]，其长度为Δt＝. 过剩估计值S1＝(1.22＋2＋1.42＋2＋1.62＋2＋1.82＋2＋22＋2)×0.2＝(10＋1.44＋1.96＋2.56＋3.24＋4)×0.2＝4.64， 不足估计值s′1＝(12＋2＋1.22＋2＋1.42＋2＋1.62＋2＋1.82＋2)×0.2＝(10＋1＋1.44＋1.96＋2.56＋3.24)×0.2＝4.04. 10．利用定积分的几何意义求下列定积分的值： (1)(－x＋1)dx；(2)dx. 【解】　(1)(－x＋1)dx表示的是图(1)中阴影所示三角形的面积，由于这个三角形的面积为×1×1＝，所以(－x＋1)dx＝. (2)dx表示的是图(2)中阴影所示半径为1的半圆的面积，其值为， 所以dx＝. 11．利用定积分表示下列曲线围成的平面区域的面积：y＝x－2，x＝y2. 【解】　曲线所围成的平面区域如图所示， S＝A1＋A2. A1为y＝，y＝－，x＝1围成的阴影部分的面积， A2为y＝，y＝x－2，x＝1和x＝4围成的阴影部分的面积， A1＝[－(－)]dx， A2＝[－(x－2)]dx. S＝2dx＋(－x＋2)dx.