【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 4.2.1 曲线的极坐标方程的意义课后知能检测 苏教版选修4-4.doc

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 4.2.1 曲线的极坐标方程的意义课后知能检测 苏教版选修4-4 1．将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程： (1)射线y＝x(x≤0)； (2)圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)． 【解】　(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y＝x， 得ρsin θ＝ρcos θ， tan θ＝，θ＝或θ＝. 又x≤0，ρcos θ≤0，θ＝， 射线y＝x(x≤0)的极坐标方程为θ＝(ρ≥0)． (2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2＋2ax＝0，得 ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＋2aρcos θ＝0， 即ρ(ρ＋2acos θ)＝0， ρ＝－2acos θ， 圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)的极坐标方程为 ρ＝－2acos θ. 2．分别将下列极坐标方程化为直角坐标方程： (1)ρ＝；(2)ρ2＝tan θ. 【解】　(1)由ρcos θ＝5，得x＝5. (2)x2＋y2＝(x≠0)，即x(x2＋y2)－y＝0(x≠0)．又在极坐标方程ρ2＝tan θ中，极点(0,0)也满足方程，即曲线过原点，所以直角坐标方程是x(x2＋y2)－y＝0. 3．已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝6cos θ，曲线C2的极坐标方程为θ＝(ρR)，曲线C1，C2相交于A，B两点． (1)把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程； (2)求弦AB的长度． 【解】　(1)曲线C2：θ＝(ρR)表示直线y＝x； 曲线C1：ρ＝6cos θ化为直角坐标方程，即x2＋y2＝6x，即(x－3)2＋y2＝9. (2)因为圆心C1(3,0)到直线的距离d＝，r＝3，所以弦长AB＝3. 4．求点A(2，)到直线l：ρsin(θ－)＝－2的距离． 【解】　A(2，)的直角坐标为(1，)， l：ρsin(θ－)＝－2，ρ(sin θ－cos θ)＝－2. 即： x－y－4＝0. 故A(1，)到l：x－y－4＝0的距离为＝3. 5．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M、N分别为C与x轴，y轴的交点． (1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标； (2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程． 【解】　(1)由ρcos(θ－)＝1得ρ(cos θ＋sin θ)＝1， 即x＋y＝2， 当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)． 当θ＝时，ρ＝，所以N(，)． (2)M的直角坐标为(2,0)，N的直角坐标为(0，)． P的直角坐标为(1，)．P的极坐标为(，)． 所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρR)． 6．在平面直角坐标系中，已知点A(3,0)，P是圆x2＋y2＝1上的一个动点，且AOP的平分线交PA于Q点，求Q点的轨迹方程． 【解】　以圆心O为极点，x轴正方向为极轴，建立极坐标系，设Q(ρ，θ)，P(1,2θ)． 因为SOAQ＋SOQP＝SOAP. 即·3·ρ·sin θ＋·1·ρ·sin θ ＝·3·1·sin 2θ. 整理得：ρ＝cos θ. 7．(2013·南京质检)在极坐标系中，圆C：ρ＝10cos θ和直线l：3ρcos θ－4ρsin θ－30＝0相交于A、B两点，求线段AB的长． 【解】　分别将圆C和直线l的极坐标方程化为直角坐标方程：圆C：x2＋y2＝10x，即(x－5)2＋y2＝25，圆心C(5,0)； 直线l：3x－4y－30＝0，因为圆心C到直线l的距离d＝＝3，所以AB＝2＝8. 教师备选 8．在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q是曲线ρ＝12cos(θ－)上的动点，试求PQ的最大值． 【解】　ρ＝12sin θ， ρ2＝12ρsin θ， x2＋y2－12y＝0， 即x2＋(y－6)2＝36. 又ρ＝12cos(θ－)， ρ2＝12ρ(cos θcos＋sin θsin)， x2＋y2－6x－6y＝0， (x－3)2＋(y－3)2＝36. PQ的最大值为6＋6＋＝18.