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【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 4.2.2 第2课时 圆锥曲线的统一极坐标方程及应用课后知能检测 苏教版选修4-4
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 4.2.2 第2课时 圆锥曲线的统一极坐标方程及应用课后知能检测 苏教版选修4-4
1.过椭圆+=1的左焦点引一条直线与椭圆自上而下交于A、B两点,若FA=2FB,求直线l的斜率.
【解】 椭圆+=1中,a=5,b=3,c=4,
所以e=,p==.
取椭圆的左焦点为极点,x轴正方向为极轴正方向,建立极坐标系,则椭圆的极坐标方程为ρ==.
设A(ρ1,θ)、B(ρ2,π+θ).由题设得ρ1=2ρ2.于是=2×,解得cos θ=,所以tan θ=,即直线l的斜率为.
2.已知椭圆方程为ρ=,过左焦点引弦AB,已知AB=8,求AOB的面积.
【解】 如图,设A(ρ1,θ)、
B(ρ2,θ+π).
所以ρ1+ρ2=+
=.
因为AB=8,
所以=8,
所以cos2θ=,sin θ=.
由椭圆方程知
e==,=,则c=3.
SAOB=SAOF+SBOF=OF·ρ1·sin θ+OF·ρ2·sin θ=8.
图4-2-4
3.如图4-2-4,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦AB与x轴斜交,M为AB的中点,MNAB,并交对称轴于N.
求证:MN2=AF·BF.
【证明】 取F为极点,Fx为极轴建立极坐标系,则抛物线的极坐标方程为ρ=.
设A(ρ1,θ)、B(ρ2,θ+π),则
AF·BF=·=.
不妨设0<θ<,
则MF=(ρ1-ρ2)
=(-)=.
所以MN=MF·tan θ
=tan θ=.
所以MN2=AF·BF.
图4-2-5
4.如图4-2-5,已知圆F:x2+y2-4x=0,抛物线G的顶点是坐标系的原点,焦点是已知圆的圆心F,过圆心且倾斜角为θ的直线l与抛物线G、圆F从上至下顺次交于A、B、C、D四点.
(1)当直线的斜率为2时,求AB+CD;
(2)当θ为何值时,AB+CD有最小值?并求这个最小值.
【解】 圆F:x2+y2-4x=0的圆心坐标为(2,0),半径为2,所以抛物线的焦点到准线的距离为4.
以圆心F为极点,Fx为极轴建立极坐标系.则圆F的坐标方程为ρ=2,抛物线G的极坐标方程为ρ=.
设A(ρ1,θ)、D(ρ2,θ+π),所以AB=AF-2,CD=FD-2,即AB+CD=AF+FD-4=ρ1+ρ2-4=+-4=+-4=-4=-4.
(1)由题意,得tan θ=2,所以sin2θ=.
所以AB+CD=-4=6.
(2)AB+CD=-4,
当sin2θ=1,
即θ=时ABF2的面积取到最小值4.
5.已知抛物线ρ=,过焦点作互相垂直的极径FA、FB,求FAB的面积的最小值.
【解】 设A(ρ1,θ)、B,则
ρ1=,ρ2==.
FAB的面积为
S=ρ1ρ2=··
=
=.
设t=sin θ-cos θ,则sin θcos θ=.
所以1-cos θ+sin θ-sin θcos θ=1+t-=(t+1)2.
又t=sin θ-cos θ=sin[-,],
所以当t=,即θ=时,FAB的面积S有最小值.
6.已知椭圆C的中心在原点,焦点F1、F2在x轴上,点P为椭圆短轴的一个顶点,且F1PF2=90°.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点,且ABF2的面积的最大值为12,求椭圆C的方程.
【解】 (1)因为F1PF2=90°,所以PF+PF=F1F,即a2+a2=4c2.所以e==.
(2)以椭圆的左焦点F1为极点,Fx为极轴建立极坐标系,设椭圆的方程为
ρ==.
设A(ρ1,θ)、B(ρ2,θ+π),
则AB=AF+FB=ρ1+ρ2
=+
=+=.
因为F1F2=2c,所以ABF2的边AB上的高h为2c|sin θ|,ABF2的面积S=·AB·h==
=.
因为+|sin θ|≥2,
所以当|sin θ|=1,
即θ=或θ=时S取到最大值.
所以当l过左焦点且垂直于极轴时,ABF2的面积取到最大值pc,所以pc=12,即b2=6.
故a2-c2=6.又=,
所以a2=12,c2=6.
所求椭圆的方程为
+=1.
7.已知椭圆+=1,直线l:+=1,P是l上一点,射线OP交椭圆于R,又点Q在OP上,且满足|OQ|·|OP|=|OR|2,当点P在l上移动时,求点Q的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
【解】 如图,以O为极点,Ox为极轴,建立极坐标系,则:
椭圆的极坐标方程为ρ2=,
直线l的极坐标方程ρ=.
由于点Q、R、P在同一射线上,可设点Q、R、P的极坐标分别为(ρ,θ)、(ρ1,θ)、(ρ2,θ),依题意,得
ρ=,
ρ2=.
由|OQ|·|OP|=|OR|2得ρ·ρ2=ρ(ρ≠0).
将代入,得ρ·=,
则ρ=(ρ≠0).
这就是点Q的轨迹的极坐标方程,
化为直角坐标方程,得2x2+3y2=4x+6y,
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