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【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 4.4.1 参数方程的意义课后知能检测 苏教版选修4-4
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 4.4.1 参数方程的意义课后知能检测 苏教版选修4-4
1.如图4-4-2,OB是机器上的曲柄,长是r,绕点O转动,AB是连杆,M是AB上一点,MA=a,MB=b(2r<a+b).当点A在Ox上做往返运动,点B绕着O做圆周运动时,求点M的轨迹方程.
图4-4-2【解】 如题图,设点M(x,y),θ=BAO,由点B作BCOx,交Ox于点C,由点M作MDOx,交Ox于点D,由点M作MEBC,交BC于点E,那么y=DM=asin θ,
x=OD=OC+CD=OC+EM
=±+EM
=±+bcos θ,
得到点M(x,y)的坐标满足方程组
即为点M的轨迹方程.
2.动点M作匀速直线运动,它在x轴和y轴方向上的分速度分别为9 m/s和12 m/s,运动开始时,点M位于A(1,1),求点M的轨迹方程.
【解】 设t s后点M的坐标为(x,y),
则所以点M的轨迹方程为
(t≥0).
3.以椭圆+y2=1的长轴的左端点A与椭圆上任意一点连线的斜率k为参数,将椭圆方程化为参数方程.
【解】 椭圆+y2=1的长轴的左端点A的坐标为(-2,0).
设P(x,y)为椭圆上任意一点(除点A),则点P的坐标满足
将=k代入+y2=1,消去x,
得(+4)y2-y=0.
解得y=0,或y=.
由y=,
解得x=;
由y=0,解得x=2.
由于(2,0)满足方程组
所以椭圆+y2=1的参数方程为
4.ABC是圆x2+y2=1的内接三角形,已知A(1,0),BAC=60°,求ABC的重心的轨迹方程.
【解】 因为BAC=60°,所以BOC=120°.
设B(cos θ,sin θ)(0°<θ<240°),
则有C(cos(θ+120°),sin(θ+120°)).设重心坐标为(x,y),则
所以
即
消去θ+60°,得(3x-1)2+9y2=1,
0°<θ<240°,
-1≤cos(θ+60°)<,
0≤<,
即0≤x<.
ABC的重心的轨迹方程为(x-)2+y2=(0≤x).
图4-4-3
5.如图4-4-3,过抛物线y2=4x上任一点M作MQ垂直于准线l,垂足为Q,连接OM和QF(F为焦点)相交于点P,当M在抛物线上运动时,求点P的轨迹方程.
【解】 设直线OM的方程为y=kx(k≠0),
由得或所以M(,),
则Q(-1,),于是直线QF的方程为
y=(x-1),即y=-(x-1).
由
消去k,得2x2+y2-2x=0.
所以点P的轨迹方程为2x2+y2-2x=0(y≠0).
图4-4-4
6.如图4-4-4所示,OA是圆C的直径,且OA=2a,射线OB与圆交于Q点,和经过A点的切线交于B点,作PQOA,PBOA,试求点P的轨迹方程.
【解】 设P(x,y)是轨迹上任意一点,取DOQ=θ,由PQOA,PBOA,得
x=OD=OQcos θ=OAcos2θ=2acos2θ,
y=AB=OAtan θ=2atan θ.
所以P点轨迹的参数方程为
θ(-,).
7.已知点P(x,y)是曲线C:上的任意一点,求3x+y的取值范围.
【解】 设P(3+cos θ,2+sin θ),
则3x+y=3(3+cos θ)+(2+sin θ)
=11+3cos θ+sin θ=11+2sin(θ+),
3x+y的最大值为11+2,最小值为11-2,取值范围是[11-2,11+2].
教师备选
8.如图,已知曲线4x2+9y2=36(x>0,y>0),点A在曲线上移动,点C(6,4),以AC为对角线作矩形ABCD,使ABx轴,ADy轴,求矩形ABCD的面积最小时点A的坐标.
【解】 椭圆方程为+=1(x>0,y>0),
设A(3cos θ,2sin θ),θ(0,),
则B(6,2sin θ),C(6,4),D(3cos θ,4),
所以SABCD=AB·AD=(6-3cos θ)(4-2sin θ)
=24-12(sin θ+cos θ)+6sin θcos θ.
令t=sin θ+cos θ,则t(1,],sin θcos θ=,
则SABCD=3(t-2)2+9.
因为t(1,],所以当t=时,
矩形面积最小,即t=sin θ+cos θ=sin(θ+)=,
此时,θ=.
所以矩形ABCD的面积最小时点A坐标是(,).
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