【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 第2章 平面向量章末归纳提升 苏教版必修4.doc

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 第2章 平面向量章末归纳提升 苏教版必修4 向量的线性运算 1.向量的线性运算包括向量的加法、减法及数乘，其中向量的加法、减法的几何意义是向量进行线性运算的考查前提和基础，学习时务必掌握好三角形法则和平行四边形法则． 2．向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题． 图2－1 　如图2－1所示，设ABC的重心为M，O为平面上任意一点，＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量. 【思路点拨】　由于＝＋，因此利用三角形的重心的性质，结合向量的三角形和平行四边形法则、向量的数乘的定义和运算律，将用a，b，c表示即可解决问题． 【规范解答】　连结AM，并延长交BC于点D，如图所示． M是ABC的重心， D是BC的中点，且AM＝AD. ＝＝(＋) ＝＋＝＋×＝＋ ＝(－)＋(－) ＝(b－a)＋(c－b)＝b－a＋c－b ＝－a＋b＋c. ＝＋＝a＋(－a＋b＋c)＝(a＋b＋c)． 图2－2 　如图2－2，O是平行四边形ABCD外一点，用，，表示. 【解】　四边形ABCD是平行四边形，设其对角线AC，BD相交于点E，由向量加法的平行四边形法则，可知＋＝2，＋＝2， ＋＝＋， ＝＋－. 向量的共线问题 　证明向量平行(共线)问题常用的结论有：(1)向量a，b(a≠0)共线存在惟一实数λ，使b＝λa；(2)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线x1y2－x2y1＝0；(3)向量a与b共线|a·b|＝|a||b|；(4)向量a与b共线存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0. 判断两向量所在的基线共线时，除满足定理的要求外，还应说明两基线有公共点． 　已知锐角ABC三个内角为A，B，C，向量p＝(2－2sin A，cos A＋sin A)与向量q＝(sin A－cos A,1＋sin A)是共线向量．求角A. 【思路点拨】　利用向量共线的条件，得到三角函数的关系式，解三角方程即可求角． 【规范解答】　向量p，q共线， (2－2sin A)(1＋sin A)－(sin A－cos A)(cos A＋sin A)＝0. 2－2sin2A＝sin2A－cos2A. sin2A＝. 又A为锐角，sin A＝.A＝. 　设两个非零向量e1和e2不共线． (1)如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，求证：A，C，D三点共线； (2)如果＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝2e1－ke2，且A，C，D三点共线，求k的值． 【解】　(1)证明：＝e1－e2，＝3e1＋2e2， ＝－8e1－2e2， ＝＋＝4e1＋e2 ＝－(－8e1－2e2)＝－， 与共线， 又与有公共点C， A，C，D三点共线． (2)＝＋ ＝3e1－2e2， A，C，D三点共线， 与共线，从而存在实数λ，使得＝λ， 即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)，由平面向量基本定理， 得 解得λ＝，k＝. 数量积运算及应用 　数量积的运算是向量运算的核心，利用向量的数量积可以解决以下问题： 1．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 平行问题 ab?x1y2－x2y1＝0 垂直问题 ab?x1x2＋y1y2＝0 2.求向量的模及夹角问题 (1)设a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝； (2)两向量夹角的余弦(0≤θ≤π) cos θ＝＝. 　已知＝(2,1)，＝(1,7)，＝(5,1)，设M是直线OP上一点(O为坐标原点)． (1)求使·取最小值时的. (2)对(1)中求出的点M，求AMB的余弦值． 【思路点拨】　根据M是直线OP上一点，可得＝λ，从而表示出的坐标，再计算出·，然后求最小值． 【规范解答】　(1)M是直线OP上一点，∥， 设＝λ＝(2λ，λ)，则＝－＝(1－2λ，7－λ)， ＝－＝(5－2λ，1－λ)， ·＝5λ2－20λ＋12＝5(λ－2)2－8， 当λ＝2时，取最小值，此时＝(4,2)． (2)由(1)知，＝(－3,5)，＝(1，－1)， cos∠AMB＝＝－. 　设a＝(，－1)，b＝(，)，若存在不同时为零的实数k和t，使x＝a＋(t－3)b，y＝－ka＋tb，且xy. (1)试求函数关系式k＝f(t)； (2)求使f(t)＞0的t的取值范围． 【解】　(1)a·b＝0，xy，|a|＝2，|b|＝1， [a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0. 即－ka2＋[t－k(t－3)]a·b＋t(t－3)b2＝0， －4k＋t2－3t＝0. k＝(t2－3t)． k，t不同时为0， 函数定义域为{t|tR且t≠0}． (2)由f(t)＞0， 即(t2－3t)＞0， 解得