【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 第一章 导数及其应用综合检测 新人教B版选修2-2.doc

第一章　导数及其应用 (时间90分钟，满分120分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝(　　) A．1　　　B.　　　C．－　　　D．－1 【解析】　y′＝2ax，于是切线斜率k＝y′|x＝1＝2a，由题意知2a＝2，a＝1. 【答案】　A 2．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f(x)的单调递增区间为(　　) A．(－1,0) B．(－1,0)(2，＋∞) C．(2，＋∞) D．(0，＋∞) 【解析】　f′(x)＝2x－2－＝＝，由f′(x)＞0得x＞2. 【答案】　C 3．f(x)＝ax3＋2，若f′(1)＝4，则a的值等于(　　) A. B. C. D．1 【解析】　f′(x)＝3ax2＋，f′(1)＝3a＋1＝4， a＝1. 【答案】　D 4．使函数y＝xsin x＋cos x是增函数的区间可能是(　　) A．(，) B．(π，2π) C．(，) D．(2π，3π) 【解析】　y′＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x，故当x(，)时，y′0，函数为增函数． 【答案】　C 5．一汽车沿直线轨道前进，刹车后列车速度为v(t)＝18－6t，则列车的刹车距离为(　　) A．27 B．54 C．81 D．13.5 【解析】　令v(t)＝0得18－6t＝0得t＝3， 列车的刹车距离为v(t)dt＝(18－6t)dt ＝(18t－3t2)＝27. 【答案】　A 图1 6．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图1所示，则下列结论中一定成立的是(　　) A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 【解析】　由图可知，当x－2时，f′(x)0；当－2x1时，f′(x)0；当1x2时，f′(x)0；当x2时，f′(x)0.由此可以得到函数在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值，选D. 【答案】　D 7．由y＝－x2与直线y＝2x－3围成的图形的面积是(　　) A. B. C. D．9 【解析】　解 得交点A(－3，－9)，B(1，－1)． 由y＝－x2与直线y＝2x－3围成的图形的面积 ＝－x3－(x2－3x)＝. 【答案】　B 8．若函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为(　　) A．－5 B．7 C．10 D．－19 【解析】　y′＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)， 所以函数在[－2，－1]内单调递减， 所以最大值为f(－2)＝2＋a＝2. a＝0，最小值f(－1)＝a－5＝－5. 【答案】　A 9．已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)＝2，且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)＜1(xR)，则不等式f(x)＜x＋1的解集为(　　) A．(1，＋∞) B．(－∞，－1) C．(－1,1) D．(－∞，－1)(1，＋∞) 【解析】　不等式f(x)＜x＋1可化为f(x)－x＜1，设g(x)＝f(x)－x， 由题意g′(x)＝f′(x)－1＜0，g(1)＝f(1)－1＝1， 故原不等式g(x)＜g(1)，故x＞1. 【答案】　A 10．(2013·课标全国卷)函数f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π，π]的图象大致为(　　) 【解析】　在[－π，π]上， f(－x)＝[1－cos(－x)]sin(－x) ＝(1－cos x)(－sin x)＝－(1－cos x)sin x＝－f(x)， f(x)是奇函数， f(x)的图象关于原点对称，排除B. 取x＝，则f()＝(1－cos )sin ＝1＞0，排除A. f(x)＝(1－cos x)sin x， f′(x)＝sin x·sin x＋(1－cos x)cos x ＝1－cos2x＋cos x－cos2x＝－2cos2x＋cos x＋1. 令f′(x)＝0，则cos x＝1或cos x＝－. 结合x[－π，π]，求得f(x)在(0，π]上的极大值点为π，靠近π，选C. 【答案】　C 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 11．(2013·江西高考)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________. 【解析】　令ex＝t，则x＝ln t，所以f(x)＝ln x＋x，即f′(x)＝1＋，则f′(1)＝1＋1＝2. 【答案】　2 12．