【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 第三章 数学归纳法与贝努利不等式综合检测 新人教B版选修4-5.doc

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 第三章 数学归纳法与贝努利不等式综合检测 新人教B版选修4-5 (时间120分钟，满分150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设S(n)＝＋＋＋…＋，则(　　) A．S(n)共有n项，当n＝2时，S(2)＝＋ B．S(n)共有n＋1项，当n＝2时，S(2)＝＋＋ C．S(n)共有n2－n项，当n＝2时，S(2)＝＋＋ D．S(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，S(2)＝＋＋ 【解析】　S(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，S(2)＝＋＋. 【答案】　D 2．数列an中，已知a1＝1，当n≥2时，an－an－1＝2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是(　　) A．3n－2　 B．n2 C．3n－1 D．4n－3 【解析】　计算知a1＝1，a2＝4, a3＝9，a4＝16， 可猜想an＝n2. 【答案】　B 3．平面内原有k条直线，他们的交点个数记为f(k)，则增加一条直线l后，它们的交点个数最多为(　　) A．f(k)＋1 B．f(k)＋k C．f(k)＋k＋1 D．k·f(k) 【解析】　第k＋1条直线与前k条直线都有不同的交点，此时应比原先增加k个交点． 【答案】　B 4．下列代数式，nN＋，能被13整除的是(　　) A．n3＋5n B．34n＋1＋52n＋1 C．62n－1＋1 D．42n＋1＋3n＋2 【解析】　当n＝1时，n3＋5n＝6,34n＋1＋52n＋1＝368,62n－1＋1＝7,42n＋1＋3n＋2＝91. 只有91能被13整除． 【答案】　D 5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上(　　) A．k2 B．(k＋1)2 C. D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2 【解析】　当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2， 当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2. 故当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2. 【答案】　D 6．若不等式＋＋…＋对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的最大值为(　　) A．12 B．13 C．14 D．不存在 【解析】　令f(n)＝＋＋…＋ 易知f(n)是单调递增的． f(n)的最小值为f(2)＝＋＝. 依题意，m14. 因此取m＝13. 【答案】　B 7．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋2－(n≥2，nN＋)时，第一步应验证不等式(　　) A．1＋2－ B．1＋＋2－ C．1＋2－ D．1＋＋2－ 【解析】　n≥2，第一步应是n＝2时，1＋ 2－. 【答案】　A 8．设nN＋，则4 n与3n的大小关系是(　　) A．4n3n B．4n＝3n C．4n3n D．不确定 【解析】　4n＝(1＋3)n.根据贝努利不等式，有(1＋3)n≥1＋n×3＝1＋3n3n，即4n3n. 【答案】　A 9．若k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱有对角面的个数为(　　) A．2f(k) B．k－1＋f(k) C．f(k)＋k D．f(k)＋2 【解析】　由n＝k到n＝k＋1时增加的对角面的个数与底面上由n＝k到n＝k＋1时增加的对角线的条数一样，设底面为A1A2…Ak，n＝k＋1时底面为A1A2A3…AkAk＋1，增加的对角线为A2Ak＋1，A3Ak＋1，A4Ak＋1，…，Ak－1Ak＋1，A1Ak，共有k－1条，因此，对角面也增加了k－1个． 【答案】　B 10．用数学归纳法证明＋cos α＋cos 3α＋…＋cos(2n－1)α＝(α≠kπ，kZ，nN＋)，在验证n＝1时，左边计算所得的项是(　　) A. B.＋cos α C.＋cos α＋cos 3α D.＋cos α＋cos 2α＋cos 3α 【解析】　首项为，末项为cos(2×1－1)α＝cos α. 【答案】　B 11．如果命题P(n)对于n＝k成立，则它对n＝k＋2亦成立，又若P(n)对n＝2成立，则下列结论正确的是(　　) A．P(n)对所有自然数n成立 B．P(n)对所有偶自然数n成立 C．P(n)对所有正自然数n成立 D．P(n)对所有比1大的自然数n成立 【解析】　因为n＝2时，由n＝k＋2的“递推”关系，可得到n＝4成立，再得到n＝6成立，依次类推，因此，命题P(n)对所有的偶自然数n成立． 【答案】　B 12．在数列{an}中，a1＝且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为(　　) A. B. C. . 【解析】　a1＝，由Sn＝n(2n－1)an得， a1＋a2＝2(2×2－